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1、因式分解百科名片百科名片a2+4ab+4b2 的分解因式分解(分解因式)Factorization，把一个多项式化为几个最简整式的积的形 式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图 方面有很广泛的应用。目录定义 方法 基本方法 竞赛用到的方法 多项式因式分解的一般步骤 四个注意 应用 定义 方法 基本方法 竞赛用到的方法 多项式因式分解的一般步骤 四个注意 应用 展开编编辑辑本本段段定定义义定定义义：把把一一个个 多多项项式式化化为为几几个个最最简简 整整式式的的积积的的形形式式，这这种种变变形形叫叫做做把把这这 个个多多项项式式因因式式分分解解（也也叫叫作作分分解解
2、因因式式）。 意意义义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于 初 等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技 巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学 习它，既可以复习的整式 四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可 以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解 决问题的能力。 分解因式与整式乘法为相反变形。 编编辑辑本本段段方方法法因因式式分分解解没没有有普普遍遍的的方方法法 ，初中数学教材中主要介绍了 提公因式法、 公式法。而在竞赛上
3、，又有拆项和添减项法， 分组分解法和十字相乘法， 待定系数法，双十字相乘法 ，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法， 求根公式法，换元法， 长除法，短除法，除法等。实际上经典例 2.证明：对于任何数 x,y，下式的值都不会为 33 x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5 解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 就是把简单的问题复
4、杂化） 注注意意三三原原则则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如： -3x2+x=x(-3x+1） 归纳方法：北北师师大大版版八八下下课课本本上上有有的的 1、提公因式法。 2、公式法。 3、分组分解法。 4、凑数法。x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 5、组合分解法。 6、十字相乘法。 7、双十字相乘法。 8、配方法。 9、拆项法。 10、换元法。 11、长除法。 12、加减项法。 13、求根法。 14、图象法。 15、主元法。 16、待定系数法。 17、特殊值法。 18、因式定理法。 编编辑辑本本段段基基本本方方法法提提公公因因式式法
5、法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的 公公因因式式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做 提提公公因因式式法法。 具具体体方方法法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的 最 大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取 相同的多项式，多项式的次数取最低的。当各项的系数有 分数时，公因式 系数的分母为各分数分母的 最最小小公公倍倍数数，分子为各分数分子的 最最大大公公约约数数 （最大公因数） 如果多项式的第一项是负的，一般要提出 “-”号，使括号内的第一项 的系数成为正数。
6、提提出出“- -”号号时时，多多项项式式的的各各项项都都要要变变号号。 口口诀诀：找找准准公公因因式式，一一次次要要提提净净；全全家家都都搬搬走走，留留1 1 把把家家守守；提提负负要要 变变号号，变变形形看看奇奇偶偶。 例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 注意：把 2a+1/2 变成 2(a+1/4)不叫提公因式 公公式式法法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫 公公式式法法。 平平方方差差公公式式: : (a+b)(a-b)=a2-b2 反过来为 a2-b2=(a+b)(a-
7、b) 完完全全平平方方公公式式 ：(a+b)2=a2+2ab+b2 反过来为 a2+2ab+b2=(a+b) 2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2-2ab+b2=(a-b)2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两 项能写成两个数 (或式)的平方和的形式，另一项是这两个数 (或式)的积的 2 倍。 两两根根式式：ax2+bx+c=a(x-(-b+(b2-4ac)/2a)(x-(-b-(b2-4ac) /2a) 立立方方和和公公式式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立立方方差差公公式式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)； 完完全全立立方方公公
8、式式 ：a33a2b+3ab2b3=(ab)3 公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)2。 分分解解因因式式技技巧巧1。 2.分解因式技巧掌握： 等式左边必须是多项式； 分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； 每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次 数； 分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两 个方面考虑。 3.提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： 第一步找公因式可按照
9、确定公因式的方法先确定系数再确定字母； 第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原 多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因 式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； 提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 编编辑辑本本段段竞竞赛赛用用到到的的方方法法分分组组分分解解法法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二 二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把 ax 和 ay 分一组，bx
10、 和 by 分一组，利用乘法分配律，两两相配， 立即解除了困难。 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax 和 5bx 看成整体，把 3ay 和 3by 看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 2. x3-x2+x-1 解法：=(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻
11、松解决。 3. x2-x-y2-y 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。 十十字字相相乘乘法法这种方法有两种情况。 x x 2 2+ +( (p p+ +q q) )x x+ +p pq q 型型的的式式子子的的因因式式分分解解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数 是 1 的二次三项式因式分解： x x 2 2+ +( (p p+ +q q) )x x+ +p
12、pq q= =( (x x+ +p p) )( (x x+ +q q) ) k kx x 2 2+ +m mx x+ +n n 型型的的式式子子的的因因式式分分解解 如果有 k=ab，n=cd，且有 ad+bc=m 时，那么 k kx x 2 2+ +m mx x+ +n n= =( (a ax x+ +c c) ) ( (d dx x+ +b b) ) 图示如下： ac bd 例如：因为 1 2 -3 7 -37=-21，12=2，且 2-21=-19， 所以 7x2-19x-6=(7x+2)(x-3) 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 拆拆项项、添添项项法法这种方法指把多项式的
13、某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项） ，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意， 必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c- -a a+ +a a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ +b bc c( (a a+ +b b) )+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+ +b bc c( (a a+ +b b) )-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-
14、a)(a+b) 配配方方法法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然 后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫 配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：x2+3x-40 =x2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)2-(6.5)2 =(x+8)(x-5) 应应用用因因式式定定理理对于多项式 f(x)=0，如果 f(a)=0，那么 f(x)必含有因式 x-a 例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定 x+2 是 x2+5x+6 的一个因 式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3) 注
15、注意意：1、对于系数全部是整数的多项式，若 X=q/p（p,q 为互质整数 时）该多项式值为零，则 q 为常数项约数， p 最高次项系数约数； 2、对于多项式 f(a)=0,b 为最高次项系数， c 为常数项，则有 a 为 c/b 约数 换换元元法法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数， 然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 相关公式 注意:换元后勿忘还元 . 例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12 时，可以令 y=x2+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y2+3y+2-12=y2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x2+x+5)(x2+x-2) =(x2+x+5)(x+2)(x-1) 也可以参看右图。 求求根根法法令多项式 f(x)=0,求出其根为 x1，x2，x3，xn，则该多项式可分解 为 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 例如在分解 2x4+7x3-2x2-13x+6 时，令 2x4 +7x3-2x2- 13x+6=0， 则通过综合除法可知，该方程的根为 0.5 ，-3，-2，1 所以 2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 图图象象法法令 y=f(x)，做
