向心加速度公式推导集萃

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1、向心加速度公式推导集萃向心加速度公式推导集萃向心加速度是匀速圆周运动中的教学难点，这是由于学生因长期接受标量运算 而产生的思维定势，认为匀速圆周运动中物体运动速率不变，故其因此我们在教学中必须强调两点，一的矢量性，速度的方向变化也表示速度有 变化，故v0，另一是速度变化的方向就是加速度的方向。因此在教学中必 须说清楚v 的方向。教材中引进了速度三角形的方法，实际上已经考虑到了 上述两点。关于向心加速度公式的推导方法甚多，下面提供几种有别于课本的 推导方法，供大家参考。1 矢量合成法矢量合成法如图 1 所示，物体自半径为 r 的圆周 a 匀速率运动至 b，所经时间为t，若物 体在 a、b 点的速

2、率为 va=vb=v，则其速度的增量v=vb-va=vb+（-va），由平行 四边形法则作出其矢量图如图 1。由余弦定理可得可见当 0 时，=90，即v 的方向和 vb垂直，由于 vb方向为圆周切线 方向，故v 的方向指向圆心.因v 的方向即为加速度的方向，可见匀速圆周 运动中加速度的方向指向圆心，。. .2 运动合成法运动合成法众所周知，物体作圆周运动的条件一是受到一个指向圆心的向心力的作用.另一 是有一个初速度.可以设想，若没有初速度则物体将向着圆心方向作匀加速运动. 若没有向心力，则物体将沿初速度方向作匀速运动.可见圆周运动应当是沿圆心 方向的匀加速直线运动和沿初速度方向的匀速运动的合运

3、动.如图 2 所示，物体 自 a 至 b 的运动，可看成先由 a 以速度 v 匀速运动至 c，再由 c 以加速度 匀 加速运动至 b，由图可知当to 时 ac 方向的运动可以忽略.故物体只有指向圆心方向的加速度 .3 位移合成法位移合成法如图 3 所示，设物体自 a 点经t 沿圆周运动至 b，其位移 ab 可看成是切向位 移 s1和法向位移 s2的矢量和.由以上分析可知，其法向运动为匀加速由图知：acbadb，故有 acab=abad，4 类比法类比法设有一位置矢量 r 绕 o 点旋转，其矢端由 a 至 b 时发生的位移为s（如图 4）.若所经时间为t，则在此段时间内的平均速率显然这个速率描述

4、的是位置矢量矢端的运动速率，当t 趋近于零时，这个平均速率就表示位置矢量 的矢端在某一时刻的即时速率，如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀 速率的，易知其速率（1）式中 t 为旋转周期.再如图 5 是一物体由 a 至 b 过程中，每转过 1/8 圆周， 速度变化的情况。现将其速度平移至图 6 中，容易看出图 6 和图 5 相类似，所 不同的是图 5 表示的是位置矢量的旋转.，而图 6 则是速度矢量的旋转，显然加 速度是速度的变化率，即由图 6 可知，这个速度变化率其实就是端的旋转速率，其旋转半径就是速率 v 的大小，故有比较图 5 图 6 可以看出当to 时v 的方向和s 的方向相垂直.故加速度的 方向和速度方向相垂直.介绍上述方法目的在于使广大学生对向心加速度这个难点有更深刻的了解，也 可以从中得到启迪，对拓宽思路有所裨益.(江苏武进湟里中学 213151 李虎驼)