全等三角形专题复习

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1、全等三角形专题复习全等三角形专题复习一、知识要点 1全等三角形及其相关概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫 做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边 2全等三角形的数学语言 如图 1 所示，三角形 ABC 与三角形 ABC全等，记作ABCABC，读作“三角 形 ABC 全等于三角形 ABC” 3全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角 形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、 中线、角平分线）相等 4全等三角形的判定方法“边、角、边”（或 SAS）定理；“角、边、角”（或 ASA）

2、定理；“角、角、边” （或 AAS）定理；“边、边、边”（或 SSS）定理； “斜边、直角边”（或 HL）定理 5说明全等三角形的思路(ASA)(AAS) 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS)(H L)(SSS)(AAS)(SAS)(ASA)(AAS)6应注意的问题 （1）要正确区分“对应边”与“对边”、 “对应角”与“对角”的不同含义； （2）符号“”表示的双重含义：“”表示形状相同；“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； （4）要正

3、确区分判定三角形全等的结论的不同含义； （5）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形 不一定全等 二、复习建议 1、要深刻理解全等三角形的含义 2、要牢固掌握判定三角形全等的方法 判定三角形全等主要有五种方法：（1）全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应 相等的两个三角形全等；（2）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：SSS） ；（3）两 角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为：ASA） ；（4）两角和其中一角的对 边对应相等的两个三角形全等（简记为：AAS） ；（5）两边和它们的夹角对应相等的两个图 1三角形全等（简记为：SAS） 。若是 Rt

4、，则除了上述五种方法外，还有一种方法：斜边和 一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：HL） 。在判定 Rt是否全等时，首 先要用这种方法，若不能判定，再用一般三角形全等的判定方法（即上述五种） 。从这些方 法中不难发现，判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中至少 要有一组对应边相等。应注意，没有“AAA”和“SSA”的判定方法，这是因为“三角对应相等 的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等，前者是很显然 的，如图 2，ABC 和ADE 中，A=A，1=3，2=4，即三个角对应相等，但 它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；至

5、于后者，如图 3，ABC 和ABD 中，AB=AB，AC=AD，B=B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。 弄清这些事实，既可牢固掌握三角形全等的判定方法，又能避免解（证）题的错误。至于 判定方法的选择，则要视具体情况而定。一般地，已知一边一角对应相等，可选择 SAS、AAS、ASA 来判定；已知两角对应相等，可选择 ASA、AAS 来判定；已知两边对 应相等，可选择SAS、SSS 来判定。3、要熟悉全等三角形的基本图形全等三角形的基本图形大致有如下几种： （1）平移型 下图的图形属于平移型图形它们可看成是由对应相等的边在同一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一 般可由同一

6、直线上的线段和或差而证得。 2、对称型 下面的图形属于对称型图形它们的特征是可沿某一直线对折，且这直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是 全等三角形的对应顶点。 3、旋转型 下面的图形属于旋转型图形图 2 图 3它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含 在平行线、对顶角、某些角的和或差中。 熟悉上述图形对解决有关问题是大有益处的。具体解（证）题时，要善于抓住基本图 形，这样就较易找到解决问题的途径和方法。 4、切实掌握用全等三角形证题的基本思路 全等三角形具有对应边相等和对应角相等的重要性质，因此利用全等三角形可证明某 些线段或角相等，一般地，有如下两种情况

7、。 （1）条件充足时直接应用 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全 等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分只要 同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形 全等 （2）条件不足，会增加条件用判别方法 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需 要补充使三角形全等的条件解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析， 探索结论成立的条件，从而得出答案 （3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法 在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通

8、过添加辅助线作为桥梁， 沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角 形全等 （4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等 三角形 （5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法 新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际 问题的能力在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应 当引起同学们的重视 三、思想方法 1转化思想：应用全等三角形的知识解决测河宽、测池塘宽、测工件内径等实际问题 就是转化思想的运用 2运动变

9、化思想：在研究三角形全等时，经常会出现三角形按照某种特定的规律变化， 需要运用运动变化的思想进行解决 3构造图形法：在直接找不到两个全等三角形时，常常通过平移、对称、旋转等图形 变换的方法构造全等三角形 4分析综合法：从已知条件出发探索解题途径的方法叫综合法；从结论出发不断寻找 使结论成立的条件与已知条件关系的方法叫分析法；两头凑的方法就是综合运用分析综合 法去寻找证题的一种方法 四、考点解密 考点一、全等三角形有关的概念 1、能够完全重合的两个图形叫做全等形全等形的大小、形状相同平移、翻折、旋 转前后的图形全等 2、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形把两个全等的三角形重合在一起，重 合的

10、顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角例 1如图 4，在中，点，在边上，且ABCABACEDFBC，则图中全等三角形共有（ ）BADCAD BECF A2 对 B3 对 C4 对 D5 对分析：由已知条件，点， ，在边ABACEDF 上，且，可知，在和BCBADCAD BC ABE 中，所以ACFABACBC BECF，(SAS)ABEACFAEAFBAFCAF 在和中，ADEADFAEAFADAD，所以，EADFAD (SAS)ADEADFDEDF在和中，所以ADBADCABACADADBDDC(SSS)ADBADC同样可知所以选（C） ABFACE 例 2如图 5，是不等

11、边三角形，以，为两个顶点作位置不ABCDEBCDE 同的三角形，使所作三角形与全等，这样的三角形最多可以画出（ ）ABC A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 分析：根据全等三角形的识别，在上方作，DE1ADEB ，根据可知，根据对称1AEDC ASA1ADEABC性可知在的下方也存在一个这样的全等三角形；在上方DEDE作，根据可知2A DEC 2A DEB ASA，同样在下方也存在一个这样的三角形；过2A DEABC在下方作，根据可知所作是三角形和已知三EDE3DEAB 3DEAC ASA角形全等，根据对称性可知在的上方也存在这样一个三角形.所以共可作 6 个三角形与DE 全等.ABC 考

12、点二、三角形全等的条件 1、三边对应相等的两个三角形全等（SSS） 2、两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS） 3、两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） 4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS） 对于两个直角三角形，除了上述 4 条还有： 5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 例 3 （1）如图 6，已知 ABAD，12，要使ABCADE，还需添加的条 件是（只需填一个） ABCDE12图 6AEFC图 4BDABC DE 图 5ABCDP图 7（2）已知：如图 7，点 C、D 在线段 AB 上，PC=PD请你添加一个条件是图

13、中存在 全等三角形，并给予证明 所添条件为 ，你得到的一对全等三角形为 解析：（1）这是一例条件开放的试题，答案不唯一因为12，所以1+DAC=2+DAC，即BACDAE，又 ABAD 已知，故由三角形全等的条件 可知，要使ABCADE，可以添加的条件是BD（ASA）或CE（AAS） 或 ACAE（SAS） （2）与（1）题相比，开放性更强，该题条件和结论都是开放的所添条件可以是：AB（或 PA=PB 或 AC=BD 或 AD=BC 或APCBPD 或APDBPC）全等 三角形为：PACPBD（或APDBPC） ，证明请同学们给出吧！ 考点三、全等三角形的性质 全等三角形的大小、形状相同；全等

14、三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相 等 例 4已知：如图 8，OADOBC，且O70，C25，则AEB_度. 120 解析:OADOBC,D=C25,EAC=O+D=70+25=95,AEB=C+EAC=25+95=120.故填 120. 评注:本题主要考查的知识点是全等三角形的对应角相等和三角形的 外角等于与它不相邻的两个内角的和. 考点四、与三角形全等有关的应用题 三角形的有关知识特别是全等三角形知识在生活中有着广泛的应 用 例 5某校二（4）班学生到野外活动，为测量一池塘两端 A、B 的距离，设计了如下 方案： （1）如图 9（1）先在平地取一个可以直接到达 A、B 的点 C，可连

15、结 AC、BC，并延 长 AC 到 D、BC 到 E，使 DC=AC，EC=BC，最后测出 DE 的距离即为 AB 之长 （2）如图 9（2）先过 B 点作 AB 的垂线 BF，再在 BF 上取 C、D 两点，使 BC=CD， 接着过点 D 作 BD 的垂线 DE，交 AC 的延长线于 E， 测出 DE 的长即为 A、B 的距离， 阅读后回答下列问题： （1）方案（1）是否可行？ ，理由是 （2）方案（2）是否切实可行？ ，理 由是 （3）方案（2）中作 BFAB，EDBF 的目的是 ；若仅满足ABD=BDE90 ，0方案（2）是否成立？ 解：（1）可行，边角边；（2）可行，角边角；（3）使ABC=EDC，仍成立 评注：本题让我们了解测量