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1、第九讲第九讲队列问题队列问题本本节课节课,我我们们学学习队习队列列问题问题:1.明确空心方明确空心方阵阵和和实实心方心方阵阵的概念及区的概念及区别别.2.掌握掌握计计算算层层数、每数、每层层人数、人数、总总人数的方法，及每人数的方法，及每层层人数的人数的变变化化规规律律动手动脑动手动脑【分析分析】秋季我们已经学过简单的排队问题，今天这节课我们将在排队的基础上，进一步研究方阵等秋季我们已经学过简单的排队问题，今天这节课我们将在排队的基础上，进一步研究方阵等 一些问题，因此上课前我们对之前所学知识做一个复习一些问题，因此上课前我们对之前所学知识做一个复习 （人）（人） ，这行一共有，这行一共有人人
2、(1)611 116 16 （人）（人） ，这一排一共有，这一排一共有个小朋友个小朋友(2)5361414 （人）（人） ，王明和李霞之间有王明和李霞之间有个同学个同学(3)32891515学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列如果行数与列数都相等，则正好排成一个学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列如果行数与列数都相等，则正好排成一个 正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵方阵包括：空心方阵和实心方阵而实心方阵的每一层又正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵方阵包括：空心方阵和实心方阵而实心方阵的每一层又 可以单独看成一个空心方阵，因此空心方阵的规律对它也是适用的可以单独看成一个
3、空心方阵，因此空心方阵的规律对它也是适用的 方阵的基本特点是：方阵的基本特点是：方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同每向里一层，每边上的人数就少方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同每向里一层，每边上的人数就少，每，每2 层层 总数就少总数就少 8每边人（或物）数和每层总数的关系：每边人（或物）数和每层总数的关系：每层总数每层总数=每边人（或物）数每边人（或物）数； 每边人（或物）数每边人（或物）数=每层总数每层总数1441 实心方阵：总人（或物）数实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数每边人（或物）数每边人（或物）数每边人（或物）数 例例 1 1二年级舞蹈队为全校做健美
4、操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一 行一列，增加的人数正好是行一列，增加的人数正好是人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？17队列与方阵队列与方阵.同学同学们们排成一行做操，从前面数小排成一行做操，从前面数小红红是第是第人，从后面数小人，从后面数小红红是第是第 1611 人，人，这这行一共有多少人行一共有多少人? .同学同学们们排成一排，李排成一排，李红红从左向右排在第从左向右排在第个，王亮在她右个，王亮在她右边边和她和她间间隔隔25 个人，王亮从
5、右向左数排在第个人，王亮从右向左数排在第个，个，这这一排一共有多少个同学一排一共有多少个同学?36 .在体育在体育课课上上名同学排成一排，从左起往右数，王明是第名同学排成一排，从左起往右数，王明是第 个；从个；从3328 右起往左数，李霞是第右起往左数，李霞是第个，王明和李霞之个，王明和李霞之间间有多少个同学？有多少个同学？9【分析分析】因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是人，因有人，因有 人是既在人是既在171 他所在的行，又在他所在的列若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一他所在的行，又在他所
6、在的列若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一 行或一列的人数可求参加健美操表演的人数可求行或一列的人数可求参加健美操表演的人数可求列式：列式： ( (人人) )，( (人人) ) (171)216288 864分分分分同学们做操，小林站在左起第列，右起第 列；从前数前面有个同534 学，从后数后面有个同学每行每列的人数同样多，做操的同学一6共有多少人?分分分分一共有几行？列式：（行）4+6+1=11一共有几列？列式：（列）53 17 一共有多少人？列式：（人）11 777例例 2 2学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉学生进行队列表演，排成了一个正方形
7、队列，如果去掉一行一列，要去掉人，问这个方阵人，问这个方阵11 共有多少人？共有多少人？ 【分析分析】学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了人，那我们人，那我们11 就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列 人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两个，那么现人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两个，那么现 在求每行的人数时就要在在求每行的人数时就要在里面多加一个现在每行的人数是：里面多加一个现在每行的人数是：11 （人）（人） ，共，共（人）（人）
8、 11 126（）6636例例 3 3军训的学生进行队列表演，排成了一个军训的学生进行队列表演，排成了一个行行列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉1010 多少人多少人? ?【分析分析】一行一列各一行一列各人，顶点处重复人，顶点处重复人，因为角上的一个同学被重复数了两次，所人，因为角上的一个同学被重复数了两次，所10102119 以要把多算的一次减掉以要把多算的一次减掉分分分分四年级一班同学参加了广播操比赛,排成每行 人,每列 人的方阵,问方阵中共有多少学生?如果88 去掉一行一列还剩多少同学?我是小林我是小林分分分分可以根据“实心方阵总人数每边人数
9、每边人数”得到 行 列的实心方阵人数为：88 （人），去掉一行一列后，还剩行列，也可通过同样的方法得出总人数为：8 8 64 77（人）77=49分分分分名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少了多少人？100分分分分名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，剩下的是行列的方阵，即剩下人，减少1009981了人19例例 4 4某校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为某校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为人，问方阵外层每边有多少人人，问方阵外层每边有多少人? ?这个方这个方36 阵共有三年级学生多少人阵共有三年级学生多少人? ?【分析分析】（法（法 ）方阵外层每边有：）方阵外层每边
10、有：（人）（人） ，共，共（人）（人） 1364410（）10 10100 （法（法）方阵外层每边有：）方阵外层每边有：（人）（人） ，共，共（人）（人） 2364110 10 10100例例 5 5小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了个棋子，求最外层每边有多个棋子，求最外层每边有多40 少棋子？如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？少棋子？如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？【分析分析】首先根据首先根据“每边的个数总数每边的个数总数”求出每边的棋子数：求出每边的棋子数：41 （个）（个） ，根据每向里一层每边棋子数
11、减少，根据每向里一层每边棋子数减少，求出最外，求出最外4041 11 2 面数的第二层中每边各有：面数的第二层中每边各有：（个）棋子，利用求实心方阵总个（个）棋子，利用求实心方阵总个112 9 数的方法就可以求出还需：数的方法就可以求出还需：（个）棋子（个）棋子99 81 例例 6 6新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边 人，彩车周围的少先队员有多少人人，彩车周围的少先队员有多少人? ?13【分析分析】外层外层人，内外相差人，内外相差 人（教师可举例说明）人（教师可举例说
12、明） ，内层，内层人，共人，共人人13444884884088例例 7 7节日来临节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛, ,最外层的一层每边摆了最外层的一层每边摆了盆花盆花, ,一共一共12 层层, ,一共用去多少盆花一共用去多少盆花? ?3欢欢迎新同学的迎新同学的到来！到来！好漂亮的校园好漂亮的校园【分析分析】( (法法 ) )不论是空心不是实心方阵不论是空心不是实心方阵, ,每向里一层每向里一层, ,每边的花盆就少每边的花盆就少个个, ,每层的花盆就少每层的花盆就少 个个, ,因此因此128 可以依次求出每层花盆的个数最外层有花盆可以依次求出每
13、层花盆的个数最外层有花盆: :( (盆盆),),第二层有第二层有: :( (盆盆),),121444（）44836 第三层有第三层有: :( (盆盆),),共有共有: :( (盆盆) )368=28443628=108 ( (法法) )将三层花盆分成四块将三层花盆分成四块, ,形成四个相等的长方形它们的长是形成四个相等的长方形它们的长是个个, ,宽是宽是 个个, ,2123（）3个个, ,即每个长方形中包括即每个长方形中包括个花盆个花盆, ,再将结果乘以再将结果乘以就得到总数是就得到总数是个个, ,于是于是(123)327274108我们可以总结为我们可以总结为: :空心方阵中点的总个数空心方
14、阵中点的总个数=(=(最外层每边的个数最外层每边的个数- -层数层数)层数层数4 ( (法法 ) )也可以将这种情况看作从一个大的实心方阵中取出一个小的实心方阵也可以将这种情况看作从一个大的实心方阵中取出一个小的实心方阵3例例 8 8个棋子摆成一个三层空心方阵个棋子摆成一个三层空心方阵, ,最内层每边有多少棋子最内层每边有多少棋子? ?120【分析分析】棋子一共三层棋子一共三层, ,容易知道外层比中层多容易知道外层比中层多 个个, ,内层比中层少内层比中层少 个个, ,因此中层因此中层88 的棋子数就是三层的平均数为的棋子数就是三层的平均数为( (个个),),可以求出中层每边的棋子可以求出中层
15、每边的棋子1203=40 数数, ,向里一层向里一层, ,每边棋子数又减少每边棋子数又减少中层总数中层总数: : ( (个个) )中层每中层每21203=40 边个数边个数: :( (个个),),内层每边个数内层每边个数: :( (个个) )4041=11112=9分分分分将一个每边枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的最外层每边有多少16棋子？分分分分棋子总数为：（枚），由于空心方阵总个数（每边个数层数）层数，所以，每16 162564 边个数空心方阵总个数层数层数，得出最外层每边有枚棋子420例例 9 9同学们用同学们用盆花排出一个两层空心方阵盆花排出一个两层空心方阵, ,后来又决定在外面再增加一后来又决定在外面再增加一64 层成为三层方阵层成为三层方阵, ,还需多少盆花还需多少盆花? ?【分析分析】对于两层方阵对于两层方阵, ,外层比内层多外层比内层多 盆盆, ,两层共两层共盆盆, ,利用和差问题的解法利用和差问题的解法, ,864 可以求出外层盆数可以求出外层盆数, ,从而得出需增加的盆数从而得出需增加的盆数, ,( (盆盆) )6482844（） 例例 1010一队战士排成三
