世界数学十大未解难题

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1、世界数学十大未解难题世界数学十大未解难题（其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特希尔伯特 2323 个问题里尚未解决个问题里尚未解决 的问题的问题”）一：一：P P（多项式算法）问题对（多项式算法）问题对 NPNP（非多项式算法）问题（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道 这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正 在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你 的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个 个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通

2、常比验证一个 给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是， 如果某人告诉你，数 13，717，421 可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知 道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为 3607 乘上 3803，那 么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧， 判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花 费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂 文考克（StephenCook）于 1971 年陈述的。二：二： 霍奇霍奇(Hodge)(Hodge)猜想猜想二十世纪的数学家们发现了研究复

3、杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是 问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几 何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不 同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇 到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中， 程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何 解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来 说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。三：三： 庞加莱庞加莱(Poincare)(Poincare)猜想猜

4、想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让 它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡 皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是 没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不 是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻 画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。 这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。四：四： 黎曼黎曼(Riemann)(Riemann)假设假设有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，

5、2,3,5,7,等等。 这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数 中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼 (18261866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数 z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程 z(s)=0 的所有有意义的解都在一条直 线上。这点已经对于开始的 1,500,000,000 个解验证过。证明它对于每一个有 意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。五：五： 杨米尔斯杨米尔斯(Yang-Mills)(Yang-Mills)存在性和质量缺口存在性和质量缺口量子物理的定律是以经典力学的牛顿定

6、律对宏观世界的方式对基本粒子世界成 立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子 物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨米尔斯方程的预言已 经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈 文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、 又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并 且在他们的对于 “夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来 没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数 学上两方面引进根本上的新观念。六：六： 纳维叶斯托克斯纳维叶斯托克斯(Na

7、vier-Stokes)(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性方程的存在性与光滑性起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的 现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可 以通过理解纳维叶斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些 方程是 19 世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出 实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶斯托克斯方程中的奥秘。七：七： 贝赫贝赫(Birch)(Birch)和斯维讷通戴尔和斯维讷通戴尔(Swinnerton-Dyer)(Swinnerton-Dyer)猜想猜想数学家总是被

8、诸如 x2+y2=z2 那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。 欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变 得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特 第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整 数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通戴尔猜想认为，有理点 的群的大小与一个有关的蔡塔函数 z(s)在点 s=1 附近的性态。特别是，这个有 趣的猜想认为，如果 z(1)等于 0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果 z(1)不等于 0,那么只存在有限多个这样的点。八：几何尺规作图问题八：

9、几何尺规作图问题这里所说的“几何尺规作图问题”是指作图限制只能用直尺、圆规，而这里的 直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题 1.化圆为方求作一正方形使其面积等於一已知圆； 2.三等分任意角； 3.倍 立方求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 4.做正十七边形。以上 四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证 明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解 决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但 后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家 认为，正十七边形

10、和圆太像了，大家一定分辨不出来。九：哥德巴赫猜想九：哥德巴赫猜想公元 1742 年 6 月 7 日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)， 提出了以下的猜想: (a) 任何一个=6 之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。(b) 任何一个=9 之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。从此，这道著名的 数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200 年过去了，没有人证明它。 哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。【哥德巴赫猜想最新最好的成果是中国数学家陈景润的陈氏定理，通俗地讲： 哥德巴赫猜想如果简称“1+1”，如今解决的是“1+2”。但是这样说使得许多

11、大众容易产生误会。】十：四色猜想十：四色猜想1852 年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工 作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使 得有共同边界的国家着上不同的颜色。” 1872 年，英国当时最著名的数学家 凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注 的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。 1976 年， 美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用 了 1200 个小时，作了 100 亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计 算机证明，轰动了世界。希尔伯特希

12、尔伯特 2323 问题里尚未解决的问题：问题里尚未解决的问题：1、问题 1 连续统假设。 全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数 c 之 间没有其它基数。 背景：1938 年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗- 佛朗克尔公理系统里，不可证伪。 1963 年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。 所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。2、问题 2 算术公理相容性。 背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理 系统的无矛盾性的想法破灭。3、 问题 7 某些数的无理性和超越性。 背景 此题为希尔伯特第 7

13、 问题中的一个特例。 已经证明了 e 的超越性，却至今未有人证明 e+ 的超越性。4、 问题 8 素数问题。 证明： (s)=1+(1/2)s+(1/3)s+(1/4)s+(1/5)s + (s 属于复数域) 所定义的函数 (s)的零点，除负整实数外，全都具有实部 1/2。背景： 此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第 8 问题。 美国数学家用计算机算了 (s)函数前 300 万个零点确实符合猜想。 希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶 数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为 2 的素数）。引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？5、 问题 1

14、1 系数为任意代数数的二次型。 背景：德国和法国数学家在 60 年代曾取得重大进展。6、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。 背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。7、 问题 13 仅用二元函数解一般 7 次代数方程的不可能性。 背景：1957 苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未 完全解决。8、 问题 15 舒伯特计数演算的严格基础。 背景： 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。 9、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。 要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数 和相对位置。10、 问题 18 用全等多面体来构造空间。 无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。11、 问题 20 一般边值问题。 偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。12、 问题 23 变分法的进一步发展。世界数学十大未解难题/希尔伯特 23 个问题未解决的问题本文链接地址：本文链接地址：http:/http:/ /s/blog_875e470b01013vh/s/blog_875e470b01013vh 5.html?tj=15.html?tj=1七大“千僖难题”：黎曼假设 庞加莱猜想 霍奇猜想 戴尔猜想 纳威厄斯托克斯方程 杨米尔 理论 P 对 NP 问题