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1、 初二奥数辅导初二奥数辅导 一元二次方程一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基 础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法 方程 ax2+bx+c=0(a0)称为一元二次方程一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法对于方程 ax2+bx+c=0(a0)，=b2-4ac 称为该方程的根的判别式当0 时，方程有两个不相等的实数根，即当=0 时，方程有两个相等的实数根，即当0 时，方程无实数根分析分析 可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解因为所以例例 2 解关于 x 的方程：x2-(p2+q2)x+
2、pq(p+q)(p-q)=0解解 用十字相乘法分解因式得x-p(p-q)x-q(p+q)=0，所以 x1=p(p-q)，x2=q(p+q)例例 3 已知方程(2000x)2-20011999x-1=0 的较大根为 a，方程 x2+1998x-1999=0 的较小根为 ，求 - 的值解解 由方程(2000x)2-20011999x-1=0 得(20002x+1)(x-1)=0，(x+1999)(x-1)=0，故 x1=-1999，x2=1，所以 =-1999所以-=1-(-1999)=2000例例 4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)分析分析 本题容易犯的错误是约去方程两边
3、的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+1，所以 x=-2，这样就丢掉了 x=1 这个根故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根本题正确的解法如下解解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，(x-1)(3x-1)-(4x+1)=0，(x-1)(x+2)=0，所以 x1=1，x2=-2例例 5 解方程：x2-3x-4=0分析分析 本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义解法解法 1 显然 x0当 x0 时，x2-3x-4=0，所以 x1=4，x2=-1(舍去)当 x0 时，x2+3x-4=0，所以 x3=-4，x4=1(舍去)所以原方程的根
4、为 x1=4，x2=-4解法解法 2 由于 x2=x2，所以x2-3x-4=0，所以 (x-4)(x+1)=0，所以 x=4，x=-1(舍去)所以 x1=4，x2=-4例例 6 已知二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0有一个根为 2，求另一个根，并确定 a 的值解解 由方程根的定义知，当 x=2 时方程成立，所以322-(2a-5)2-3a-1=0，故 a=3原方程为3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，例例 7 解关于 x 的方程：ax2+c=0(a0)分析分析 含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论当 c=0 时，x1=x2=0；当 ac0(即 a，c
5、同号时)，方程无实数根例例 8 解关于 x 的方程：(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0分析分析 讨论 m，由于二次项系数含有 m，所以首先要分 m-1=0 与 m-10 两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当 m-10 时，再分0，=0，0 三种情况讨论解解 分类讨论(1)当 m=1 时，原方程变为一元一次方程x-2=0，所以 x=2(2)当 m1 时，原方程为一元二次方程=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11例例 9 解关于 x 的方程：a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x解解 整理方程得(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0(1
6、)当 a2-a0，即 a0，1 时，原方程为一元二次方程，因式分解后为ax-(a+1)(a-1)x-a=0，(2)当 a2-a=0 时，原方程为一元一次方程，当 a=0 时，x=0；当 a=1 时，x=2例例 10 求 k 的值，使得两个一元二次方程x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0有相同的根，并求两个方程的根解解 不妨设 a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a2+ka-1=0， a2+a+(k-2)=0 -有ka-1-a-(k-2)=0，即 (k-1)(a-1)=0，所以 k=1，或 a=1(1)当 k=1 时，两个方程都变为 x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根没有
7、相异的根；(2)当 a=1 时，代入或都有 k=0，此时两个方程变为x2-1=0，x2+x-2=0解这两个方程，x2-1=0 的根为 x1=1，x2=-1；x2+x-2=0 的根为 x1=1，x2=-2x=1 为两个方程的相同的根例例 11 若 k 为正整数，且关于 x 的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根，求 k 的值解解 原方程变形、因式分解为(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，(k+1)x-12(k-1)x-6=0，即4，7所以 k=2，3 使得 x1，x2同时为正整数，但当 k=3 时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2
8、为所求例例 12 关于 x 的一元二次方程 x2-5x=m2-1 有实根 a 和 ，且+6，确定m 的取值范围解解 不妨设方程的根 ，由求根公式得+=+=56，符合要求，所以 m21例例 13 设 a，b，c 为ABC 的三边，且二次三项式 x2+2ax+b2与 x2+2cx-b2有一次公因式，证明：ABC 一定是直角三角形证证 因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程 x2+2ax+b2=0 与x2+2cx-b2=0 必有公共根，设公共根为 x0 ，则两式相加得若 x0=0，代入式得 b=0，这与 b 为ABC 的边不符，所以公共根 x0=-(ac)把x0=-(ac)代入式得(a
9、+c)2-2a(a+c)+bg2=0，整理得a2=b2+c2所以ABC 为直角三角形例例 14 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数解解 设小球摆成正三角形时，每边有 x 个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球此时正三角形共有球此时正方形共有(x-2)2个球，所以即 x2-9x+8=0，x1=1，x2=8因为 x-21，所以 x1=1 不符合题意，舍去所以 x=8，此时共有球(x-2)2=36 个练练 习习 九九1解方程：(2)20x2+253x+800=0；(3)x2+2x-1-4=02解下列关于 x 的方程：(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0；(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)3若对任何实数 a，关于 x 的方程x2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数 b 的取值范围4若方程 x2+ax+b=0 和 x2+bx+a=0 有一个公共根，求(a+b)2000的值5若 a，b，c 为ABC 的三边，且关于 x 的方程4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0 有两个相等的实数根，试证ABC 是等边三角形
