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1、 北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-627544681河北省中考数学最后一道压轴题的命制，从 1996 年至 2001 年的近五年来呈现出一个规律： 都是几何图形运动型的综合题，并且由运动的几何图形来看，类型各异，颇具特色。一、单点运动型例 1 (1999 年河北省中考压轴题)如图 1-1，正方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，且 OA 边与 AB边所在直线的解析式分别为：y=x 和 y=-x+。D、E 分别为边 OC 和 AB 的中点，P 为 OA 边上 一动点(点 P 与点 O 不重合)，连结 DE 和 CP，其交点
2、为 Q。(1)求证：点 Q 为COP 的外心；(2)求正方形 OABC 的边长；(3)当Q 与 AB 相外切时，求点 P 的坐标。解：(1)D、E 分别为正方形 OABC 中 OC、AB 的中点，DEOA。Q 也是 CP 的中点。又CP 是 RtCOP 的斜边，点 Q 为COP 的外心。(2)由方程组解得点 A 的坐标为(4，3)。过点 A 作 AFox 轴，垂足为点 F。OF=4，AF=3。由勾股定理，得 OA=5。(3)如图 1-2，当COP 的外接圆Q 与 AB 相切时，圆心 Q 在直线 DE 上，且 DEAB，E 为Q 与 AB 相切的切点。又AE 和 APO 分别是Q 的切线与割线A
3、E2=APAOOA=5，AE=()2=AP5，AP=当Q 与 AB 相切时，OP=5-作 PHox，垂足为 H。PHAF，北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-627544682OH=，PH=点 P 的坐标为(3，)二、双点互动型例 2 (1997 年河北省中考压轴题)已知：如图 2-1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90， AB=8 厘米，AD=24 厘米，BC=26 厘米，AB 为O 的直径。动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1 厘 米/秒的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以
4、 3 厘米/秒的速度运动。P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为 t 秒。求：(1)t 分别为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形、等腰梯形？(2)t 分别为何值时，直线 PQ 与O 相切、相交、相离？解：(1)ADBC，只要 QC=PD，四边形 PQCD 为平行四边形。此时，有 3t=24-t，解，得 t=6。即当 t=6 秒时，四边形 PQCD 为平行四边形。同理，只要 PQ=CD，PDQC，四边形 PQCD 为等腰梯形。过 P、D 分别作 BC 的垂线交 BC 于 E、F 两点(如图 2-2)，则由等腰梯形的性质可知：EF=PD，Q
5、E=FC=2。2=3t(24-t)解得 t=7t=7 秒时，四边形 PQCD 为等腰梯形。(2)设运动 t 秒时，直线 PQ 与O 相切于点 G(如图 2-3)，过 P 作 PHBC，垂足为 H。则 PH=AB，BH=AP，即 PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t。由切线长定理，得 PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t。由勾股定理，得 PQ2=PH2+HQ2，即(26-2t)2=82+(26-4t)2化简整理，得 3t2-26t+16=0解，得 t1=，t2=8即 t=秒或 t=8 秒时，直线 PQ 与O 相切。北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北
6、达教育旗下门户网站 电话 010-627544683t=0(秒)时，PQ 与O 相交；当 t=8(秒)时，Q 点运动到 B 点，P 点尚未运动到 D 点， 但也停止运动，此时 PQ 也与O 相交。当 t=或 t=8 时，直线 PQ 与O 相切；当 0t或 8t8时，直线 PQ 与O 相交；当t8 时，直线 PQ 与O 相离。三、直线平移型例 3 (2000 年河北省中考压轴题)在如图 3-1 所示的直角坐标系中，点 C 在 y 轴的正半轴上， 四边形 OABC 为平行四边形，OA=2，AOC=60，以 OA 为直径P 经过点 C，点 D 在 y 轴上，DM 为始终与 y 轴垂直且与 AB 边
7、相交的动直线，设 DM 与 AB 边的交点为 M(点 M 在线段 AB 上，但与 A、B 两点不重合)，点 N 是 DM 与 BC 的交点设 OD=t。(1)求点 A 和 B 的坐标；(2)设BMN 的外接圆G 的半径为 R，请你用 t 表示 R 及点 G 的坐标；(3)当G 与P 相切时，求直角梯形 OAMD 的面积。解：(1)连结 AC。OA 为P 的直径，ACO=90又OA=2，AOC=60，OC=1，AC=点 A 的坐标为(,1)又 OABC 为平行四边形，ABOC，点 B 的坐标为(,2)(2)DMy 轴，且 ABOC，DMAB。NMB=90G 的圆心 G 为 BN 的中点。又B=A
8、OC=60，BM=BN=R。而点 B 的纵坐标为 2，点 M 的纵坐标=点 D 的纵坐标=t，BM=2-t，R=2-t过点 G 作 GHy 轴，交 x 轴于点 H，交 DM 于点 F；过点 G 作 GKx 轴，交 AB 于点 K(如图 3-2)。根据垂径定理，得到：FM=MN，KM=BM。北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-627544684设点 G 的坐标为(x, y) NM=(2-t)x=DM-MN=-(2-t)=t，y=OD+BM=t+(2-t)=1+t。点 G 的坐标为(t，1+t)。(3)连结 GP，过点 P 作 P
9、Ex 轴，交 GH 于点 E。由 PEGE，根据勾股定理得：GP=当G 与P 外切时，PG=R+1，=3-t。解得 t=，经检验 t=是原方程的根。此时，OD=t=，AM=1-MB=，DM=AC=此时，OD=t=，AM=1-MB=，DM=AC=，直角梯形 OAMD 的面积为：S=，DM=。四、点线共动型例 4 (2001 年河北省中考压轴题)如图 4-1，在菱形 ABCD 中，AB=10，BAD=60。点 M 从点 A 以每秒 1 个单位长的速度沿着 AD 边向点 D 移动；设点 M 移动的时间为 t 秒(0t10)。(1)点 N 为 BC 边上任意一点。在点 M 移动过程中，线段 MN 是否
10、一定可以将菱形分割成面积相 等的两部分？并说明理由；(2)点 N 从点 B(与点 M 出发的时刻相同)以每秒 2 个单位长的速度沿着 BC 边向点 C 移动，在 什么时刻，梯形 ABNM 的面积最大？并求出面积的最大值；(3)点 N 从点 B(与点 M 出发的时刻相同)以每秒 a(a2)个单位长的速度沿着射线 BC 方向(可北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-627544685以超越 C 点)移动，过点 M 作 MPAB，交 BC 于点 P。当MPNABC 时，设MPN 与菱形 ABCD 重 叠部分的面积为 S，求出用 t 表
11、示 S 的关系式，并求出 S=0 时 a 的值。解：(1)MN 一定能在某一时刻将菱形 ABCD 分割成面积相等的两部分。对于中心对称图形，过中心的任一直线均能将图形分割成面积相等的两部分。而且菱形是中 心对称图形(如图 4-2 所示)。在点 M 由 A 到 D 的移动过程中，一定存在一个时刻，使得线段 MN 过菱形的中心。(2)过 B 作 BEAD，垂足为 E(如图 4-3)。在 RtABE 中，BE=10sin60=5AM=t，BN=2t，S梯形 ABNM=(t+2t)5=t。2t10，t5当 t=5 时，S梯形 ABNM最大。最大面积为：5=。(3)ABC 是腰长为 10 的等腰三角形。
12、当ABCABC 时(如图 4-4)MP=10，PN=BC=10，且 MP=PN。NC=PN-PC=BC-PC=PBBP=AM=t，PC=10-t，NC=t过 P 作 PGDC，垂足为 G。在 RtPGC 中，PG=PCsin60=(10-t)。设 MN 交 DC 于 F，DCMP，且 MP=PN，NFC=NMP=MNP，FC=NC=t。重叠部分 MPCF 是梯形，S=(t+10)(10-t)=-t2+25当 S=0，即-t2+25=0 时，解得 t1=10，t2=-10(舍去)BN=at，且 BN=PN+PB=10+t，北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育
13、旗下门户网站 电话 010-627544686at=10+t。将 t=10 代入 at=10+t，解得 a=2。五、点圆齐动型例 5 (1998 年河北省中考压轴题)如图 5-1 所示，一艘轮船以 20 浬/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以 40 浬/时的速度由南向北移动，距台风中心 20浬的圆形区域(包括边界)都属台风区。当轮船到 A 处时，测得台风中心移到位于点 A 正南方向 B 处，且 AB=100 浬。(1)若这艘轮船自 A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到 台风的时间；若不会，请说明理由；(2)现轮船自 A 处立即提高航速，向位于
14、东偏北 30方向，相距 60 浬的 D 港驶去。为使台风到来之前，到达 D 港，问船速至少应提高多少(提高的船速取整数，3.6)？解：(1)设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为 t 小时，此时，轮船位于 C 处，台风中 心移到 E 处，连结 CE(如图 5-2)。则有 AC=20t，AE=AB-BE=100-40t，EC=20。在 RtAEC 中，AC2+AE2=EC2，(20t)2+(100-40t)2=(20)2。整理，得 t2-4t+3=0 =(-4)2-413=40，途中会遇到台风。解，得 t1=1，t2=3。最初遇到台风的时间为 1 小时。(2)设台风抵达 D 港时间为 t 小时，此时台风中心至 M 点。过 D 作 DFAB，垂足为 F，连结 DM。在 RtADF 中，AD=60，FAD=60，DF=30，FA=30。又(30)2+(130-40t)2=(20)2，整理，得 4t2-26t+39=0解之，得 t1=，t2=。台风抵达 D 港的时间为小时。北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-627544687轮船从 A 处用小时到 D 港的速度为 6025.5。因此，为使台风抵达 D 港之前轮船到 D 港，轮船至少应提速 6 浬/
