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1、二阶微分方程：二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr的形式，21rr(*)式的通解两个不相等实根)04(2 qpxrxrececy21 21两个相等实根)04(2 qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2 qp24 2221p
2、qpirir，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 ypyqyf x( ) （1）其中p q,是常数。 方程（1）的通解为对应的齐次方程0 qyypy（2）的通解 Y 和方程（1）的一个特解*y之和。即 *yYy.我们已解决了求二阶常系数 齐次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 *y的方法。下面我们只介绍当方程（1）中的)(xf为如下两种常见形式
3、时求其特解*y的方法。一、一、f xePxx m( )( )型由于方程（1）右端函数f x( )是指数函数ex与m次多项式Pxm( )的乘积，而指 数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测：方程（1）的特解应为yeQ xx( )( Q x( )是某个次数待定的多项式 )yeQ xeQ xxx( )( )yeQ xQ xQxx( )( )( ) 22 代入方程（1） ，得eQxp Q xpq Q xePxxx m( )()( )() ( ) ( )22消去ex，得Qxp Q xpq Q xPxm( )()( )() ( )( )22（3）讨论01、如果不是特征方程rprq20的根。
4、即 02qp由于Pxm( )是一个m次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未Q x( )必为一个 m次多项式，设为Qxb xb xbxbmmm mm( ) 011 1L将之代入（3） ，比较恒等式两端x的同次幂的系数，就得到以bbbbmm011,L为 未知数的m1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m1个待定的系数， 并得到特解 yeQxx m( )02、如果是特征方程rprq20的单根。即 20pq，但 20p欲使（3）式的两端恒等，那么Q x( )必是一个m次多项式。因此，可令 Q xx Qxm( )( )并且用同样的方法来确定)(xQ的系数bbbbmm011,L。03、如果是特征方程
5、rprq20的二重根。 即 20pq，且 20p。欲使（3）式的两端恒等，那么Qx( )必是一个m次多项式因此， 可令 Q xxQxm( )( )2并且用同样的方法来确定)(xQ的系数bbbbmm011,L。综上所述，我们有结论如果f xePxx m( )( ) ，则方程（1）的特解形式为yx Qx ek mx( )其中Qxm( )是与Pxm( )同次的多项式，k的取值应满足条件k 012不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的二重根例例 1 1 求 yyyxex562的通解。解解 特征方程为 0652 rr特征根为 3, 221rr齐次方程的通解为 xxeCeCY3 22 1因为2是特征
6、单根，所以，设非齐次方程的特解为yx b xb ex()012则*y()22202 0112b xbb xb ex* y()4842402 01012b xbb xbb ex将上述三式代入原方程，得 ()2200122b xbb exexx ， 比较恒等式两端的系数，得 21 20001b bb解得 210b， 11b因此 xexxy2) 121(*所以方程的通解为yc ec exxexxx12 2321 21()二、二、f xeP xxP xxx ln( )( )cos( )sin型由于方程（1）右端函数为xxpxxpenlxsin)(cos)(，这种形式得到非齐次方程的特解*y的过程稍微复
7、杂些，所以我们这里就只给出结论yx eRxxRxxkx mm( )cos( )sin( )( )12其中，Rxm( )( )1 、Rxm( )( )2 是两个m次多项式，ml n max , ，且 是特征方程的根若不是特征方程的根若iik10例例 2 2 求方程 yyxxcos2的通解。解解 特征方程 r210特征根 ir2, 1齐次方程的通解为 xCxCYsincos21这里1, 2, 0m，由于ii2不是特征方程的根，所以设方程的特解为yaxbxcxdx()cos()sin22代入原方程，得 xxxadCxxCbax2cos2sin)433(2cos)433( 比较两端同类项的系数，得 0430304313adCCba解得 94, 0, 0,31dCba于是 yxxx 1 324 92cossin所以非齐次方程的通解为ycxcxxxx121 324 92cossincossin
