解题后还应反思些什么

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1、 解题后还应反思些什么？解题后还应反思些什么？作者：王志勇 文章来源：旧版导入 点击数： 393 更新时间：2005-9-7 解题后还应反思些什么？解题后还应反思些什么？ 江苏省宿迁市宿城区德扬中学江苏省宿迁市宿城区德扬中学 王志勇王志勇 0527-4939698 高考是以知识为载体、方法为依托、能力为目标来进行考查的，命题时则是以能力为立意、以方法和知识为素材来进行命题设计的。纵观这几年的高考试卷中的一些题目，背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活。这正体现了目前新课程理念标准，注重知识的形成过程，关注学生获取知识的过程，不断地培养学生创新精神和实践能力。那么，以前的那种“题海战术

2、”在高考中已不适用了，在数学教学中，如何引导学生摆脱这种困境，尽快提高学生的数学素质，不断培养学生的数学能力呢？我个人认为：学生做完一道题后应学会反思。 本文就解题后还应思考些什么谈自己的一点看法和体会：1、反思解题本身是否正确、反思解题本身是否正确 由于在解题的过程中，可能会出现这样或那样的错误，因此在解完一道题后就很有必要进行审查自己的解题是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否特殊代替一般，是否忽视特例，逻辑上是否有问题，运算是否正确，题目本身是否有误等。这样做是为了保证解题无误，这是解题后最基本的要求。教学中应有意识地选用一些错解或错题，进行解题后反思，使学生真正认实到解题后思考的重要

3、性。例题例题 1：已知：a、b、c、dR，且 a2 + b2 = 1，c2 + d2 = 1，求证：|ac+bd| 1 证法一：证法一： a、b、c、dR， ac ； bd ac + b d + = = 1 |ac+bd| 1。 解题后引导学生反思：为什么要这样解？这样解正确吗？解题过程中用了哪些知识点？通过学生反思，得知如果 ac+bd= - 2，则|ac + b d|=2 与|ac + b d|1 矛盾，所以上述证明是错误的。本题是以绝对值不等式为背景的，所以想到利用绝对值的定义来证明此题。 证法证法 ：（比较法） |ac+bd|1 - 1ac+bd1 即 ac+bd-1 且 ac+bd1

4、 利用作差法证明上述两式。 通过这样反思，学生反思至少有以下两点收获：本题是含绝对值不等式的证明题，利用去绝对值来证明，思路得到了肯定，下次遇这类题就不会手足无措；反思过程中得知绝对值不等式是双向的，单向成立是不能推出绝对值成立的，这样在以后遇到类似的题目不会出错。2、反思有无其它解题方法、反思有无其它解题方法 对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法，当然，我们的目的不在于去凑几种解法，而是通过不同的观察侧面，使我们的思维触角伸向不同的方向，不同层次，发展学生的发散思维能力。 如上述例题解完后，再引导学生想一想除了利用定义去绝对值外，还可以利用什么方

5、法去绝对值，通过思考学生得出可以平方。即用分析法证明此题。 证法二：证法二：（分析法） 要证 |ac+bd|1 即证 （ac+bd）21 即证 a2c2+2abcd+b2d21 而 a 2 + b 2 = 1，c 2 + d 2 = 1 a2c2+2abcd+b2d2（a 2 + b 2）（c 2 + d 2） （ad bc）20 a、b、c、dR， 上式恒成立，即原结论得证。 再让学生观察题目的条件和结论，看一看各种形式，会有意想不到的效果。通过仔细分析、观察，学生会联想到本题是含有绝对值的不等式证明，应想到利用绝对值不等式的性质和均值不等式来证明此题。证法三：证法三： a、b、c、dR，

6、|ac| ；|bd | |ac + b d|ac| + |bd | + = = 1 |ac+bd| 1。 利用绝对值不等式和均值不等式证明时要注意等号成立的条件。 由条件中有两个实数的平方和为 1，而三角函数中也有平方和为 1，所以可想到利用三角代换来证明。证法四：证法四：（三角换元） 设 a=cos，b=sin，c=cos，d=sin ac+bd = coscos+ sinsin=cos（ ） |cos（ ）|1， | ac+bd|1 由条件中的平方和与 ac+bd，学生会联想到向量中两向量的模和数量积。学生就会试着构造向量去解决本题。证法五：证法五：设 =（a，b）， =（c，d） | |

7、= =1 | | = =1 = ac+bd =| | |cos | | | | =1 |ac+bd | 1 通过构造向量来解题，这种方法有创意，但一般学生很难想到这种思路，要求有较高的综合处理问题的能力。 这种思考其实就是“一题多解”，让学生从不同的角度去观察、分析、思考，联想到均值不等式、三角换元、向量等知识，这样就可以让学生进一步体会新旧知识的内在联系，使所学知识融会贯通，使学生的思维空间更广阔，解题更富有灵活性。3、反思结论或性质在解题中的作用、反思结论或性质在解题中的作用 有些题目本身可能很简单，但是它的结论或做完这道题目本身用到的性质却有广泛的应用，如果让学生仅仅满足于解答题目的本身

8、，而忽视对结论或性质应用的思考、探索，那就可能会“拣到一粒芝麻，丢掉一个西瓜“。例例 2：如图 1：二面角 BC 的大小为 （ 是锐角）A，A 在 内的射影为 A/，求证：cos= 。 题目的证明很简单，但这个关系式却给出了求一个二面角的平面角的方法，特别是当一个二面角的平面角不易作出时，（如两平面相交于一点时）而当二面角的一个面所在的三角形及这个三角形在另一面内的射影面积容易求出时,利用这个结论求二面角是一种极为简捷的方法。例如：2001 年全国高考题理科卷第 17 题： 如图：在底面是直角梯形的四棱锥 SABCD 中，ABC=900，SA面 ABCD，SA=AB=BC=1，AD = ， （

9、1） 求四棱锥 SABCD 的体积； （2）求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的正切值。 本题的（2）可用例 2 的结论来求，这里只要求出 SSCD与 SSAB，则所求的二面角 应满足 COS= ，解答略。 所以解完一道题后，思考一下解题过程和结论其收获将远远超出解题本身，使学生有可能揣测到一类题的解题规律。4、反思题目能否变换引申、反思题目能否变换引申 改变题目的条件，会导出什么新结论；保留题目的条件结论能否进一步加强；条件作类似的变换，结论能扩大到一般等等。象这样富有创造性的全方位思考，常常是学生发现新知识、认识新知识的突破口。 例 3：点 P 在椭圆 +y2=1 上运动，求定点 A（

10、0，2）到动点P 的距离|AP|的最大值。 这是一道简单题，学生很容易得出结论，|AP|的最大值是。解完这题后，我引导学生思考，能否把题目变一下，引起学生热烈的议论和争论，通过师生共同讨论、总结，得出以下的几种变题：变题变题 1：将求|AP|的最大值改为求|AP|的最小值。 变题变题 2：将椭圆改为双曲线 y2=1，结论改为求|AP|的最小值。 变题变题 3：将椭圆改为抛物线 y2=2x，结论改为求|AP|的最小值。 变题变题 4：已知点 P 在椭圆 +y2=1 上运动，定点 A（0，a）（a0），求|AP|的最大值。 变题变题 5：动点 Q 在圆 x2+y2 4y+3=0上运动，动点 P 在

11、椭圆 +y2=1 上运动，求|PQ|的最大值。 （将圆方程化为 x2 +（y 2）2=1，则圆心A（0，2），问题就转化为原题了） 变题变题 6：求三角式（cos 2cos）2+（2+sin sin）2的最大值。 变题变题 7：设椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且离心率 e = ，点 P 在椭圆上运动，若定点 A（0，2）到动点 P 的距离的最大值是，求椭圆方程。并求|AP|取最大值时，点 P 的坐标。 通过这种反思，由一题多变，侧重训练了学生思维递进性；由多题一解，侧重训练学生思维的深刻性；由条件和结论的换位，侧重训练学生思维的变通性；由多向探索，侧重训练学生思维的广阔性。这样让学生掌握

12、一类题型的解法，可以达到事倍功半的效果。 5、反思解决问题的思维方法能否迁移、反思解决问题的思维方法能否迁移 解完一道题目后，不妨让学生深思一下解题程序，有时会突然发现：这种解决问题的思维模式竟然体现了一训重要的数学思想方法，它对于学生解决一类问题大有帮助。 例：与的值相等的是 （ ） A、tan100 cot500 B、- cot500 C、- tan250 D、tan750 解：0，而 A、B、C 的值均小于 0，应选（D） 本题的解答虽然简单，但它却体现了解选择题的一种独特的数学思想方法估算法。在某些选择题的解答中，运用估算法，其解法令人称奇。 总之，解完一道题目后，作为我们教师应积极的引导学生进行反思，这样，有利于深化学生对数学知识和方法的认识，真正领悟到数学的思想和知识的结构，促进其创造性思维能力的发展，从而充分发挥学生的智能和潜能。 以上几点是本人对高中学生解题后应反思些什么的一点肤浅的看法，不当之处，敬请各位同仁批评指正。