高中奥林匹克物理竞赛解题方法_五_极限法

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1、 1 高中奥林匹克物理竞赛解题方法 五、极限法 方法简介 极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的 推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有 独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活， 判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力， 从而得到事半功倍的效果。 赛题精讲 例 1：如图 51 所示， 一个质量为 m 的小球位于一质量可忽略的直立 弹簧上方 h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度 系数为 k，则物块可能获得的最大动能为 。 解析：球跟弹簧接

2、触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理， 小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有 mg=kx 图 51 由机械能守恒有 2 21)(kxExhmgk+=+ 联立式解得 kgmmghEk2221= 例 2：如图 52 所示，倾角为的斜面上方有一点 O，在 O 点放一至 斜面的光滑直轨道，要求一质点从 O 点沿直轨道到达斜面 P 点 的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角。 解析：质点沿 OP 做匀加速直线运动，运动的时间 t 应该与角有关， 求时间 t 对于角的函数的极值即可。 由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为 cosga = 该质点沿轨道由静止滑到斜面所用

3、的时间为 t，则 OPat=2 21图 52 2 所以cos2 gOPt = 由图可知，在OPC 中有 )90sin()90sin(+=OCOP所以)cos(cos =OCOP 将式代入式得 gOC gOCt)2cos(coscos4 )cos(coscos2 += 显然，当2, 1)2cos(=即时，上式有最小值. 所以当2=时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。 此题也可以用作图法求解。 例 3：从底角为的斜面顶端，以初速度0水平抛出一小球，不计 空气阻力，若斜面足够长，如图 53 所示，则小球抛出后， 离开斜面的最大距离 H 为多少？ 解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远

4、。 以水平向右为 x 轴正方向，竖直向下为 y 轴正方向， 则由：gtvvy=tan0，解得运动时间为tan0 gvt = 该点的坐标为 22 022 0 0tan221tangvgtygvtvx= 由几何关系得：tancos/xyH=+ 解得小球离开斜面的最大距离为 sintan22 0=gvH。 这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。 例 4：如图 54 所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为 3.0m 的墙外， 从喷口算起， 墙高为 4.0m。 若不计空气阻力，取 2/10smg =，求所需的最小初速及对应的发射仰角。 图 53 图 54 3 解析：水流做斜上

5、抛运动，以喷口 O 为原点建立如图所示的 直角坐标，本题的任务就是水流能通过点 A（d、h）的最小初速度和发射仰角。 根据平抛运动的规律，水流的运动方程为 =2 0021sincosgttvytvx把 A 点坐标（d、h）代入以上两式，消去 t，得： h hdhhddhdgdhdgddhgdv + +=+=2cos2sin/)12(cos2sin/)tan(cos2/22222222222 0令 ,sin/,cos/,tan/2222=+=+=hdhhdddh则上式可变为 ,6 .7134arctan45arctan2145245902, 1)2sin(,)2sin(/02222 0最小时亦即

6、发射角即当显然vdhhhdgdv=+=+=+=+=且最小初速0v=./5 . 9/103)(22smsmhhdg=+ 例 5：如图 55 所示，一质量为 m 的人，从长为 l、质量为 M 的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。 铁板和水平面间摩擦因数为，人和铁板间摩擦因数为 ，且。这样，人能使铁板朝其跑动方向移动 的最大距离 L 是多少？ 解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力 f，其加速度gmMgmM mMfa=+=+=)(1。 由于铁板移动的距离vavL=故,212 越大，L 越大。v是人与铁板一起开始地运

7、动的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。 人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦gmM)(+，根据系统的牛顿第二定律得： 02+=MmaF 所以 gmmM mFa+=2哈 图 55 4 设v、v分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度 因为 vmMmv+=)( 且Lavlav12 222,2= 并将1a、2a代入式解得铁板移动的最大距离 lmMmL+= 例 6：设地球的质量为 M，人造卫星的质量为 m，地球的半径为 R0，人造卫星环绕地球 做圆周运动的半径为 r。试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度 )2(0 0rR

8、gRv=，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。 （取 R0=6.4106m） ，设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为 g） 解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地面发射的速度为发v，卫星发射时具有的机械能为 02 121 RMmGmvE=发 进入轨道后卫星的机械能为rMmGmvE=2 221轨 由 E1=E2，并代入,rGMv=轨解得发射速度为 )2(00rR RGMv=发 又因为在地面上万有引力等于重力，即：gRRGMmgRMmG0 02 0=所以 把式代入式即得：)2(0 0rRgRv=发（1）如果 r=R0，即当卫星贴近地球表面做匀

9、速圆周运动时，所需发射速度最小 为smgRv/109 . 73 0min=. （2）如果r，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为 smgRv/102 .1123 0max= 例 7：如图 56 所示，半径为 R 的匀质半球体，其重心在球心 O 点正下方 C 点处，OC=3R/8， 半球重为 G，半球放在 5 水平面上，在半球的平面上放一重为 G/8 的物体，它与半 球平在间的动摩擦因数2 . 0=， 求无滑动时物体离球心 图 56 O 点最大距离是多少？ 解析：物体离 O 点放得越远，根据力矩的平衡，半球体转过的角度越大，但物体在球 体斜面上保持相对静止时，有限度。 设物体距球心为

10、 x 时恰好无滑动， 对整体以半球体和地面接触点为轴， 根据平衡条件有：cos8sin83xGRG= 得 tan3Rx = 可见，x 随增大而增大。临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，则： RRxNfmm6 . 03, 2 . 0tan=所以. 例 8：有一质量为 m=50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间 静摩擦因数3 . 0=，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳 与杆的夹角30=，如图 57 所示。 （1）若以水平力 F 作用在杆上，作用点到地面的距离LLh(5/21=为杆长） ，要使杆不滑倒，力 F 最大不能越过多少？ （2）若将作用点移到5/42Lh =处时，情况又如何？

11、 解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小 还与 h 有关，讨论力与 h 的关系是关键。 杆的受力如图 57甲所示，由平衡条件得 0)(0cos0sin=fLhLFmgTNfTF 另由上式可知，F 增大时，f 相应也增大，故当 f 增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：Nf= 解得：hhLmgLFmas= /tan)(tan由上式又可知，当LhhhL66. 0,/tan)(0=即当时对 F 就没有限制了。 图 57 图 57甲 6 （1）当0152hLh=无论 F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。 例 9：放在光滑水平面上的木板质量为 M

12、，如图 58 所示，板上有 质量为 m 的小狗以与木板成角的初速度0v（相对于地面） 由 A 点跳到 B 点，已知 AB 间距离为 s。求初速度的最小值。 图 58 解析：小狗跳起后，做斜上抛运动，水平位移向右，由于水平方向动量守恒，木板向左 运动。小狗落到板上的 B 点时，小狗和木板对地位移的大小之和，是小狗对木板 的水平位移。 由于水平方向动量守恒，有MmvvMvmvsincos0 0=即 小狗在空中做斜抛运动的时间为 gvtsin20= 又vttvs=+cos0 将、代入式得 2sin)(0mMMgsv+= 当0,4, 12sinv时即=有最小值，mMMgsv+=min0。 例 10：一

13、小物块以速度smv/100=沿光滑地面滑行，然后沿光滑 曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图 59 所示， 当高台的高度 h 多大时，小物块飞行的水平距离 s 最 大？这个距离是多少？（g 取 10m/s2） 解析：依题意，小物块经历两个过程。在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力， 由于支持力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其 水平距离 s 是高度 h 的函数。 设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v，根据机械能守恒定律， mghmvmv+=22 021 21 小物块做平抛运动的水平距离 s 和高度 h 分别为：2 21gth = 图 59 7 vts =

14、以上三式联立解得：22 022 02 0)4()4(222gvhgv ghghvs= 当mgvh5 . 242 0=时，飞行距离最大，为mgvs522 0 max=。 例 11：军训中，战士距墙 s，以速度0v起跳，如图 510 所示， 再用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上的运动以继续 升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为。求能使人体 重心有最大总升高的起跳角。 图 510 解析：人体重心最大总升高分为两部分，一部分是人做斜上抛运动上升的高度，另一部 分是人蹬墙所能上升的高度。 如图 510甲，人做斜抛运动cos0vvx=， gtvvy=sin0重心升高为 2001)cos(21tanvsgsH= 脚蹬墙面，利用最大静摩擦力的冲量可使人向上的动量增加，即 =,)(,)()()()(xyymvttNttNttNtfvmmv而 xyvv=，所以人蹬墙后，其重心在竖直方向向上的速度为 xyyyyvvvvv+=+=，继续升高gvHy 222=，人的重心总升高 H=H1+H2=1tan,)sincos(21 022 0=+当sgv时，重心升高最大。 例 12：如图 511 所示，一质量为 M 的平顶小车，以速度0v沿水 平的光滑轨道做匀速直线运动。现将一质量为 m 的小物块无 初速地放置在车顶前缘