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1、考研自测题精美汇总量子力学自测题（） 量子力学自测题（） 一、简答与证明： （共 25 分） 1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4 分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6 分） 3、 全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全 同粒子体系的波函数。 （4 分） 4、证明)(22 xxpxxpi是厄密算符 （5 分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量xp 之间的测 不准关系。 （6 分） 二、 （15 分）已知厄密算符BA,，满足122= BA，且0=+ABBA，求 1、在 A 表象中算符A、B的矩阵表示； 2、在 B 表象中算符A的本征值
2、和本征函数； 3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵 S。 三、 （15 分）设氢原子在0=t时处于状态 ),()(21),()(21),()(21)0 ,(112110311021+=YrRYrRYrRr ，求 1、0=t时氢原子的E、2L和zL的取值几率和平均值； 2、0t时体系的波函数，并给出此时体系的E、2L和zL的取值几 率和平均值。 四、 （15 分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出 + =CCC H000000200030001 这里，HHH+=)0(，C是一个常数，10开始受微扰ktexH22=的作用。 求：经充分长时时)(t以后体
3、系跃迁到2态的几率。 HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总量子力学自测题（3） 量子力学自测题（3） 一、 简答题（每小题 5 分，共 40 分） 1.一粒子的波函数为( )()zyxr,=?，写出粒子位于dxxx+间的几率。 2.粒子在一维势阱，)0()()(=xxV 中运动，波函数为)(x，写出)(x的跃变条件。 3.量子力学中， 体系的任意态)(x可用一组力学量完全集的共同本征态)(xn展开：=nnnxcx)()(，写出展开式系数nc的表达式。 4.给出如下对易关系： ?,?,?,?,?,2=yzxzxyzss
4、LLpxpz5.一个电子运动的旋量波函数为 ()() () =2,2,? rrsrz，写出表示电子自旋向上、位置在r?处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。 6.何谓几率流密度？写出几率流密度),(trj?的表达式。 7.散射问题中， 高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？ 8.一维运动中，哈密顿量)(22 xVmpH+=，求?,?,=HpHx 二、 计算题（共 60 分。911 题各 10 分；12、13 题各 15 分） 9.在时间0=t时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：)()(21)(51)0 ,(3320xucxuxux+= 式中)(
5、xun是振子的第n个本征函数。 HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总（1）试求3c的数值； （2）写出在t时刻的波函数； （3）在0=t时振子能量的期望值是多少？1=t秒时呢？ 10. n为zL的本征态，本征值为?n。求在zL的本征态n下，xL和yL的平均值。 11. 氢原子处于状态 () =21011211122321,YRYR srz?， （1）求轨道角动量的z分量zL的平均值； （2）求自旋角动量的z分量zs的平均值； （3）求总磁矩seLeM?=2的z分量zM的平均值。 12.s?、L?分别为电子的自旋和轨道
6、角动量，LsJ?+=为电子的总角动量。证明：LsJ?,=0；JJ ,2=0，。zyx,= 13.质量为的粒子受微扰后，在一维势场中运动， t时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值 四、 （15 分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵 +2330322021的本征值至的二次项，本征矢至的一次 项。 五、 （10 分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作 用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几 个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总量子力学自测题（
7、5） 量子力学自测题（5） 一、 填空题（本题 20 分） 1Planck 的量子假说揭示了微观粒子 特性，Einstein 的光量子假说揭示了光的 性。Bohr 的氢原子理论解决了经典电磁场理论和原子的 之间的矛盾，解决了原子的 的起源问题。 2力学量算符必须是 算符，以保证它的本征值为 。对一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定是 当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非体系处于 。测量结果的不确定性来源于 。两个力学量同时具有确定值的条件是 。 二、 （本题 15 分） 1设算符a 具有性质1, , 02=+aaa。求证： （1）aaN+本征值必为实数。 （2）NN
8、2= （3）N的本征值为 0 或者 1。 2 利用对易式i2=， 求证：0,=ji，),(zyxji=， 其中，ji,为 Pauli 矩阵。 三、 （本题 15 分） 1设氦原子中的两个电子都处于 1s 态， （不简并）两个电子体系的空间波函数为)()(),(2100110021rrrr= （1）写出两个电子体系的四个可能的自旋波函数4321,。 HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总（2）写出对两个电子的交换反对称的总体波函数),(2121zzssrr（同时考虑空间自由度和自旋自由度） 。 2一电子处于自旋态)(21
9、zz+=，求： （1）在自旋态下，zS的可能测值与相应的几率。 （2）在自旋态下，xS的可能测值与几率。 四、 （本题 15 分） 设一个类氢离子的电荷数由 Z 变成 Z+1，试用微扰方法计算基态能量的一级近似值。已知：类氢离子的基态能量本征值和本征函数分别为 aeZEn222 =，aZr eaZ=2/31001， 计 算 时 ， 可 利 用 积 分 公 式202 41 =dxxeax。 五、 （本题 20 分） 设一维谐振子的能量本征函数为)(xn，求： （1）动量在)(xn态下的平均值。 （2）动能T在)(xn态下的平均值。如有必要，可以利用 +=+)(21)(2)(11xnxnxdxdn
10、nn 六、 （本题 15 分）设一量子体系的 Hamilton 量为 =3* 3* 232* 1211 EaaaEaaaEH 而且，1,2 32 22 10 时电子的自旋方向在 x-z 平面内与 z 轴成 t时体系波函数和 体系能量的取值几率及平均值 四、 （15 分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵 + 2330322021的本征值至的二次项，本征矢至的一次 项。 五、 （10 分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作 用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704
11、999167QQ：704999167考研自测题精美汇总量子力学自测题（8） 量子力学自测题（8） 一、填空题（本题 25 分） 1 自由粒子平面波函数ikxcex=)(的动量不确定度=p ， 坐标不确定度=x 。 2波函数kxxcos)(=是否自由粒子的能量本征态？答： 。如果是，能量本征值是 。该波函数是否是动量本征态？答： ，因为 。 3设BA是两个互为不对易的厄米算符。在下列算符 （1）BA,； （2）BAAB； （3）2A； （4）BA+AB中，算符 和 的本征值必为实数。 4设两个电子散射波的自旋波函数()+=21，则散射波的空间波函数应为 。因此微分散射截面 。 5设一个二能级体系
12、的两个能量本征值分别为 E1和 E2，相应的本征矢量为21nn和。则在能量表象中，体系 Hamilton 量的矩阵表示是 ，体系的可能状态是 ，在各可能状态下，能量的可能测值是 ，相应的几率是 。 二、 （本题 15 分） 1已知在坐标表象中，自由粒子的坐标本征函数为)()(0xxx= 求在动量表象中坐标的本征函数。 2氢原子中的电子在径向坐标drrr+的球壳内出现的几率为 drrrRdrrPnlnl22)()(=。已知，0/2/301012)(arearR =，求 IS 电子的径向几HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美
13、汇总率最大的位置。 三、 （本题 15 分） 1求证：izy+=1，ixz+=2，iyx+=3分别为角动量算符zyxlll,的本征值为?的本征态。 2试证明：在电子的任意自旋态 =ba下，只要22ba=，则自旋角动量zS的平均值必为零。 四、 （本题 15 分） 1 已知),()(BAiBABA+=其中， A、 B为与Pauli矩阵zyx,对易的任意两个矢量算符。试证明：22) (pp=，=?22)(lll 其中，p 为三维动量， l为三维角动量。 2设力学量A（不显含时间）为守恒量。求证：A的平均值不随时间改变，即0=dtAd五、 （本题 15 分） 已知一维谐振子处于基态，坐标的不确定度l
14、xxx=+=2)( 求该谐振子跃迁到第一激发态所需能量。 六、 （本题 15 分） 设一电子在沿 x 方向的均匀磁场 B 中运动。在 t=0 时，电子的自旋向z 轴的正向极化。求： （1）在任意时刻 t，电子的自旋波函数。 （2）zyxS、S、S的平均值。 （3）zS的测值为2/?和2/?的几率。 HY制作HY制作HY制作QQ：704999167QQ：704999167QQ：704999167考研自测题精美汇总量子力学自测题（9） 量子力学自测题（9） 一回答下列问题（共 30 分, 第 1、2 小题各 10 分，第 3、4小题各 5 分） 1、下列波函数所描写的状态是否为定态？并说明其理由。 （1） 、()( )( )1,EEi ti tx tx ex e=+?（1） 、()()( )() 2,( )EEi xti xtx tu x ev x e+=+?2、描写粒子状态的波函数在坐标表象中为 ()tr,? ，在动量表象中为 ()tpC,?，在力学量 Q 表象中为矩阵 ( )( ) ( )( )12na t at A tat =
