《2015年电大专科高等数学考试复习资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年电大专科高等数学考试复习资料（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学期末复习1、求函数的定义域：1）含有平方根的：被开方数0，2）含分式的：分母0 含对数的：真数0例： 1.函数的定义域是 ) 1ln(92xxy2、函数的对应规律例：设求2134,f xxx f x解：由于中的表达式是 x+1，可将等式右端表示为 x+1 的形式 f2)(2) 1() 1(3) 1() 1(222xxxfxxxxxf或：令2)(24) 1(3) 1()(11222xxxftttttftxtx则3、判断两个函数是否相同：定义域相同及对应规律相同 例：1、下列各函数对中， （ B ）中的两个函数相同A、 B、2() ,yxyx21,11xyyxxC、 D、2ln,2lnyx
2、yx22sincos,1yxx y4、判断函数的奇偶性：若，则为偶函数；若，则为奇函数， fxf x f x fxf x f x也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数奇函数、奇函数偶函 数仍为奇函数；偶函数偶函数、偶函数偶函数、奇函数奇函数仍为偶函数”的性质来判断。 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称。 例：下列函数中， （ A ）是偶函数 A B 3sinf xxx 31f xxC D xxf xaa 3cosf xxx5、无穷小量：极限为零的变量。性质：无穷小量和有界变量的积仍是无穷小量 例 1）: 当时，下列变量为无穷小量的是（ B ）0x A、cosx B
3、、ln(1+x) C、x+1 D、xe2） 0 01lim sin xxx6、函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限存在且相等( D ) 0lim xx xA、1 B、1 C、1 D、不存在231 21330) 1ln(01092 xx xxxxxx 且7、极限的计算：对于“”形00 1sin2) 10xxlin x）利用重要极限约去零因子后再计算例 1）21111) 11(11000 xlin xxxlinxxlin xxx2）=) 1)(3() 1sin(lim32) 1sin(lim 121xxx xxxxx) 1() 1sin( )3(1lim 1 xx xx) 1() 1sin(l
4、im)3(lim11 1 xx xx x411418、导数的几何意义：；处的切线的斜率在点表示曲线00)()(xxfyxf)(),)(00000xxxfyyyxxfy处的切线方程在点（曲线例：曲线在处的切线斜率是 1)(xxf)2, 1 (解：=121) 1 (xxf) 1(212,21xy故切线方程为：9、导数的计算：复合函数求导原则：由外向内，犹如剥笋，层层求导例 1）设，求2sinlnxy y解：xxxy2cossin12 2例 2）设，求 dy2cosxyxe解; 21(sin2)2xdyxxedxx 10、判断函数的单调性：的区间。系式的区间为单调递增函数单调递增，满足关:0 y的区
5、间。系式的区间为单调递减函数单调递减，满足关:0 y例：.函数的单调减少区间是 1) 1(2 xy），故单调减少区间是（110) 1(2xxy11、应用题的解题步骤：1）根据题意建立函数关系式，2）求出驻点（一阶导数=0 的点） ，3）根据题意直接回答例 1） 求曲线上的点，使其到点的距离最短xy22)0,2(A解：曲线上的点到点的距离公式为xy22)0,2(A22)2(yxd与在同一点取到最小值，为计算方便求的最小值点，将代入得d2d2dxy22xxd2)2(22令 2)2(2)(2xd令得可以验证是的最小值点，并由此解出，即曲线上的点和点0)(2d1x1x2d2yxy22)2, 1 (到点
6、的距离最短)2, 1 ()0,2(A2）某制罐厂要生产一种体积为 V 的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为rhrhrS22因为Vhr22rVh 所以rVrS22222rVrS由，得唯一驻点，此时，由实际问题可知，当底半径和高时可使用0S3Vr 3 Vh 3Vr 3 Vh 料最省12、不定积分与原函数的关系:设 ，则称函数是的原函数., Fxf x F x f xcxFdxxf)()(例 1）若的一个原函数为，则（ B ） f x1 x fxA、 B、 C、 D 、ln x32 x1 x21 x解：322)(11)(xxfxxxf 2）
7、已知，则 （答案：C） sinxf x dxxc f x A. B. C. D.sin x xsinxxcosx xcosxx解：xxxfxxxxfcos)(cos)(sin)(13、性质： ,f x dxf xfx dxf xc例 1）（ B ） xxfxxd)(dd32A. B. C. D. )(3xf)(32xfx)(31xf)(313xf例 2） +Cxx d)(tantan x14、不定积分的计算：1）凑微分；2）分部积分1） 常用凑微分：),1(1),(ln1),1)(11),(121 xddxxxddxxxddxxbaxdadx),(21xddx x)(cossin),(sinc
8、os),(xdxdxxdxdxeddxexx例 1）若，则（ B ） cxFxxf)(d)(xxfxd)(1A. B. C. D. cxF)(cxF)(2cxF)2(cxFx)(1解：cxFxdxfdxxf x)(2)()(2)(1例 2）计算xxx de21解： )1(de121xdexxxxcx1 e例 3)计算xxxdlnsin解;cxxdxdxxx)cos(ln)(ln)sin(lnlnsin2） 分部积分的常见类型：xdxxdvxdxxdxdxexdxxdxexnxnxncoscossinsin的形式。凑成、把，再根据分部积分公式计算的形式凑成把dvdxxxdxxnnlnvduuvu
9、dv例 1）计算dxxex解：cexedxexeexdxdxedxxexxxxxxx)()(例 2）计算不定积分xxxd3cos解：cxxxxdxxxxxdxxdxxdxx3cos313sin313sin3sin31)3(sin31)3(3cos313cos例 3）计算dxxxxxdxxxxxxxdxxdxx11) 1() 1ln(1) 1ln() 1ln() 1ln() 1ln(=cxxxxdxxxx1ln) 1ln()111 () 1ln(15、定积分的牛顿莱布尼兹公式：设 F（x）是 f(x)的一个原函数，则)()(xFdxxfbaab)()(aFbF例：若是的一个原函数，则下列等式成立
10、的是（ B ） F x f xA. B. xaf x dxF x xaf x dxF xF aC. D. baF x dxf bf a bafx dxF bF a 16、奇偶函数在对称区间上的积分：若是奇函数，则有 f x 0aaf x dx 若是偶函数，则有 f x 0022aaaaf x dxf x dxf x dx 例 1)： 12121xdx x 分析：为奇函数，所以0221xx 12121xdx x 例 2） 11xdx 分析：为偶函数 故： xQ112 1 0102|1xdxxdxx 17、定积分的计算：1）凑微分，2）分部积分； 定积分的凑微分和不定积分的计算相同。例 1） 计算
11、1221xedxx解：利用凑微分法，得211dxdxx 1 11222 12111|x xxedxe deeexx 例 2） 计算定积分21xedxx解：利用凑微分法，得 12dxdxx2222 11122|2x xxedxedxeeex定积分的分部积分与不定积分的计算基本相同：定积分的分部积分公式：babavduabuvudv例 1） 计算120xxedx解： 0121210121)(21)2(21221022102102102xxxxxxeedxexeexdxdxedxxe=)31 (4121 2121222eee例 2） 计算21lnexdx x解： eexedxxexxxxddxxxeee211111 1ln1)1(lnln1211例 3） 计算2 0cos2xxdx 解：21022cos412sin 022sin21)2(sin21)2(2cos212cos2 02 02 02 0 xxdxxxxxdxxdxxx
