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1、管理论文 专业论文 教育论文 管理论文 专业资料下载尽在豆丁 http:/管理论文 专业论文 教育论文 管理论文 专业资料下载尽在豆丁 http:/圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨数学系 20021111 班 朱家庆指导教师 向长福摘摘 要要：圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中 数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容。而圆锥曲线的主要内容之一是过 圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。为解 除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的方法，文章 对椭圆焦
2、点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究 和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、 更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的数学能力和应用 能力。 关键词关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点On the Properties of Conic Focal Point Triangleand Focal Point StringAbstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in pre
3、sent high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in senior high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which
4、 passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always know what to begin with. To relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probe
5、s into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle and the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systema
6、tically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical problems. Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point1 1 引言引言圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重 点，又是难点而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求 解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数
7、 学的情绪为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题 方法或数学思想是很必要的在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首 先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用.管理论文 专业论文 教育论文 管理论文 专业资料下载尽在豆丁 http:/管理论文 专业论文 教育论文 管理论文 专业资料下载尽在豆丁 http:/圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，许多教师或专家已做过研究.文献2主 要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献7主要是对双曲线焦点三角形的性质进行 研究.文献2、7都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献1、10主
8、要围绕 焦点三角形的内切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了 文献2、7的不足之处.文献9主要是探讨圆锥曲线焦点弦的几何特征.作为一个有机整 体的圆锥曲线焦点三角形，探求其所具有的共同特征的性质应该是一件非常有意义的事情. 在对文献进行分析、研究的基础上，文章主要是结合高中数学课程的要求，对椭圆焦点三 角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质作一定的探讨，将其系统 地归纳集中或进行了一定的扩展，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步 提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力2 2 圆锥曲线焦点三角形的定义及性质圆锥曲线焦点三角形
9、的定义及性质圆锥曲线上一点与其两焦点所构成的三角形叫做圆锥曲线的焦点三角形1. 2.1 椭圆焦点三角形的性质以椭圆的两个焦点，及椭圆上任意一点（除长轴上两)0( 12222 baby ax 1F2FP个端点外）为顶点的，叫做椭圆的焦点三角形2.21PFF设=，=，=，椭圆的离心率为，则有以下性质：21PFF21FPF12FPFeF2F1OyxP图 1性质性质 1 1 .cos12221bPFPF证明：在中，由余弦定理，有21PFF22 21212 22 1)2(cos2cFFPFPFPFPFaPFPF221Q2 212 22 142aPFPFPFPF管理论文 专业论文 教育论文 管理论文 专业
10、资料下载尽在豆丁 http:/管理论文 专业论文 教育论文 管理论文 专业资料下载尽在豆丁 http:/2 212124cos224cPFPFPFPFa整理，得 .cos12221bPFPF例 1 如图 2：、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭1F2F)0( 12222 baby axP圆上，是面积为 1 的正三角形，求的值2POF2byxOF2F1P图 2分析：此题按常规思路是从入手，即，1 2POFSS2 24360sin21cPOOF求得所以点的坐标分别为，.由于点在椭圆上，有.3342cP2cc23P2222222 143 4 acbbc ac解此方程组就可得到的值但这涉及到解二元二次方程
11、组，计算量很大，非常麻烦.若2b用性质 1 求解可使运算得以简化解：连接则， 有,1PF9021PFF21221 PFFPOFSS90sin21 21121PFPF. 290sin90cos12 41122 bb性质性质 2 2 .2tan221bSPFF管理论文 专业论文 教育论文 管理论文 专业资料下载尽在豆丁 http:/管理论文 专业论文 教育论文 管理论文 专业资料下载尽在豆丁 http:/证明：由性质 1 得sin21 2121PFPFSPFF.2tancos1sinsincos12 21222bbb例 2 已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上任一点，且1F2F1256422 yxP，
12、求的面积321PFF21PFF分析：如果设点的坐标为，由点在已知椭圆上且，利用这两P),(yxP321PFF个条件，列出关于,的两个方程，解出,再求的面积，这种方法，运算xyxy21PFF量大且过程繁杂，须另寻捷径知道，可以直接利用性质 2 求解，使运算量321PFF简化.解： 2tan221bSPFFQ.3325 6tan25 21PFFS例 3 已知点是椭圆上任一点，且),(00yxP)0(0y)0( 12222 baby ax.求证：.21PFF2tan20cby证明： 0212221 211ychFFSPFFQ2tan221bSPFF0221yc2tan2b00yQ.2tan20cby
13、管理论文 专业论文 教育论文 管理论文 专业资料下载尽在豆丁 http:/管理论文 专业论文 教育论文 管理论文 专业资料下载尽在豆丁 http:/例 4 点是椭圆上一点，以点以及焦点、为顶点的三角形的面P14522 yxP1F2F积等于 1，求点的坐标P分析：要求点的坐标，不妨设点坐标为，由点在已知椭圆上和PP),(00yxP的面积等于 1，可列两个方程，解方程可得点的坐标此题也可在例 3 的基础21PFFP上进行求解3解：设点坐标为,则有P),(00yxccScbyPFF1 2tan2120122bacQ. 1100 yy把代入 得10y14522 yx.2150x.12151215121
14、51215），），（，），（，），（，坐标为（点P性质性质 3 3 .) 12arccos(22 abO证明：由正弦定理，有 sinsinsin2121FFPFPF)(180sinsinsin sinsinsin2121 oFFPFPF2cos2sin22cos2sin2)sin(sinsin 2sin12cos12cos2coscos12 aPFPF221Q管理论文 专业论文 教育论文 管理论文 专业资料下载尽在豆丁 http:/管理论文 专业论文 教育论文 管理论文 专业资料下载尽在豆丁 http:/)(442222 21bacFFcos12cos122222222 baabaa即 .2222cosaab 因为，所以 .02222arccosaab 当点 P 在长轴上的端点时，这时，不存在，因此，021PFF4.) 12arccos(022 ab性质性质 4 4 离心率 .2cos2cose证明：由正弦定理，有)sin(sinsinsin212121
