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1、平面向量平面向量 一向量有关概念一向量有关概念： 1向量的概念向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段 来表示，注意不能说向量就是有向线段不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如：如：已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是ABuuu rar_（答：（3,0） ）2零向量零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的；03单位向量单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是ABuuu r)； |AB ABuuu r uuu r4相等向量相等向量：
2、长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记ab作：，规定零向量和任何向量平行规定零向量和任何向量平行。ab 提醒提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共 线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性平行向量无传递性！（因为有)；0r三点共线共线；ABC、 AB ACuuu r uuu r、6相反向量相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如如aa下列命题：（1）若，则
3、。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相abrrabrr同，终点相同。 （3）若，则是平行四边形。 （4）若是平行四边形，ABDCuuu ruuu rABCDABCD则。 （5）若，则。 （6）若，则。其中正确的是ABDCuuu ruuu r,ab bcrr rr acrr/ , /ab bcrr rr /acrr_（答：（4） （5） ） 二向量的表示方法二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；AB2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；abc3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，xyi为基底，则平
4、面内的任一向量可表示为，称为向量的ja,axiy jx yrrr, x ya坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点向量的起点在原点，那么向量的坐标与a, x ya向量的终点坐标相同。 三平面向量的基本定理三平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内 的任一向量 a，有且只有一对实数、，使 a=e1e2。如如1212（1 1）若，则_（答：） ；(1,1),abrr(1, 1),( 1,2)c rc r13 22abrr（2 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. B. 12(0,0),(1, 2)eeu ru u r12( 1,2),
5、(5,7)ee u ru u rC. D. 12(3,5),(6,10)eeu ru u r1213(2, 3),( ,)24eeu ru u r（答：B） ；（3 3）已知分别是的边上的中线,且,则可用,AD BEuuu r uuu r ABC,BC AC,ADa BEbuuu rr uuu rr BCuuu r向量表示为_（答：） ；, a br r24 33abrr（4 4）已知中，点在边上，且，则ABCDBC DBCD2 ACsABrCD 的值是_sr （答：0）四实数与向量的积四实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定aa如下：当0 时，的方向与的方向相同，
6、当0；当 P 点12在线段 P P 的延长线上时1；当 P 点在线段 P P 的延长线上时；122110 若点 P 分有向线段所成的比为，则点 P 分有向线段所成的比为。如如12PPuuu u r21P Puuu u r1 若点分所成的比为，则分所成的比为_（答：）PABuuu r3 4ABPuu u r7 33 3线段的定比分点公式线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的111( ,)P x y222(,)P xy( , )P x y12PPuuu u r比为，则，特别地，当1 时，就得到线段 P P 的中点公式121211xxxyyy 12。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，
7、121222xxxyyy( , )x y11( ,)x y22(,)xy即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分 点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如如（1 1）若 M（-3，-2） ，N（6，-1） ，且，则点 P 的坐标为1M PM N3 _（答：） ；7( 6,)3（2 2）已知，直线与线段交于，且，则( ,0), (3,2)A aBa1 2yaxABM2AMMBuuuu ruuu r等于_a （答：或）十一平移公式十一平移公式：如果点按向量平移至，则；( , )P x y,ah kr( ,)P x yxxh yyk 曲线按向量平移得曲线.注意注
8、意：（1 1）函数按向量( , )0f x y ,ah kr(,)0f xh yk平移与平常“左加右减”有何联系？（2 2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如如（1 1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点ar(2, 3)(1, 2)ar( 7,2) _（答：（，） ） ；（2 2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，xy2sin a12cosxy则_ （答： a）) 1 ,4(1212、向量中一些常用的结论、向量中一些常用的结论： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有同向或有| | |abababrrrrrra br r、0r|
9、|ababrrrr；当反向或有反向或有；当| |ababrrrra br r、0r| |ababrrrr| |ababrrrr不共线不共线(这些和实数比较类似). a br r、| | |abababrrrrrr（3）在中，若，则其重心的坐标为ABC112233,A x yB xyC xy。如如123123,33xxxyyyG 若ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3，4） 、 （-1，-1） ，则ABC 的重心 的坐标为_ （答：） ；2 4(, )3 3为的重心，特别地1()3PGPAPBPCuuu ruu u ruu u ruuu rGABC为的重心；0PAPBPCPuu u
10、ruu u ruuu rrABC为的垂心；PA PBPB PCPC PAPuu u r uu u ruu u r uuu ruuu r uu u rABC向量所在直线过的内心(是的角平分线所在()(0)|ACAB ABACuuu ruuu r uuu ruuu rABCBAC直线)；的内心；|0AB PCBC PACA PBPuuu r uuu ruuu r uu u ruu u r uu u rrABC（3）若 P 分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则12PPuuu u rM，特别地为的中点；12 1MPMPMP uuu u ruuuu ruuu rP12PP12 2MPMPMPuuu u ruuuu ruuu r（4）向量中三终点共线存在实数使得 PA PB PCuu u r uu u r uuu r、ABC、且.如如PAPBPCuu u ruuu ruuu r 1平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足O) 1 , 3(A)3 , 1(BC OC,其中且,则点的轨迹是_（答：直线 AB） OBOA21R21,121C
