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1、7-1.加法原理.题库 教师版 page 1 of 21加法原理加法原理知识框架图7-1-1 分类讨论中加法原理的应用7-1-2-1 树形图法7-1-2-2 标数法7 计数综合7-1 加法原理7-1-2 树形图法、标数法及简单的 递推7-1-2-3 简单递推：斐波那契数列 的应用教学目标教学目标1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致知识要点知识要点一、加法原理概念引入生活中常有这样的
2、情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做 法那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决 例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津， 有 4 趟长途汽车从北京到天津那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？ 分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有 5 种 走法，如果乘长途汽车，有 4 种走法上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有 5+4=9 种不同的走法 在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以
3、完成并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数 二、加法原理的定义 一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有种不同做法，第二类方法中有种不同做法，1m2m，第 k 类方法中有种不同做法，则完成这件事共有种不同方法，这就是加法原km12kNmmm 理7-1.加法原理.题库 教师版 page 2 of 21加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题 可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立” 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类
4、；其次，分类 时要注意满足两条基本原则： 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法 只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确 运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数通俗地说，就是“整体等于局部之和”三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分 N 类； 2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）； 3、类类相加枚枚举举法：法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数 分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法枚举的时候要注意顺序， 这样才能做到不重不漏例题精讲例
5、题精讲模块一、分类讨论中加法原理的应用【例例 1】 1】 （难度等级（难度等级 ）小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具）小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具 8 种，不同的课外种，不同的课外 书书 20 本，不同的纪念品本，不同的纪念品 10 种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？ 【小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有 8 种方法；第二类，买课外书，有 20 种方法；第三种， 买纪念品，有 10 种方法根据加法原理，小宝买一种礼物有 8+20+10=38 种方法【巩固巩固】 （难度等级（难度
6、等级 ）有不同的语文书）有不同的语文书 6 本，数学书本，数学书 4 本，英语书本，英语书 3 本，科学书本，科学书 2 本，从中任取一本，本，从中任取一本， 共有多少种取法？共有多少种取法？ 【根据加法原理，共有 6+4+3+2=15 种取法【巩固巩固】 （难度等级（难度等级 ）阳光小学四年级有）阳光小学四年级有 3 个班，各班分别有男生个班，各班分别有男生 18 人、人、20 人、人、16 人从中任意选一人从中任意选一 人当升旗手，有多少种选法？人当升旗手，有多少种选法？ 【解决这个问题有 3 类办法：从一班、二班、三班男生中任选 1 人，从一班 18 名男生中任选 1 人有 18 种选法
7、：同理，从二班 20 名男生中任选 1 人有 20 种选法；从三班 16 名男生中任意选 1 人有 16 种选 法；根据加法原理，从四年级 3 个班中任选一名男生当升旗手的方法有：种18201654【例例 2】 2】 （难度等级（难度等级）从）从 110 中每次取两个不同的数相加，和大于中每次取两个不同的数相加，和大于 10 的共有多少种取法？的共有多少种取法？7-1.加法原理.题库 教师版 page 3 of 21选择合适的分类方式是运 用加法原理的关键好的分 类方式往往达到事半功倍的效果 注意：本题中“”与“78”只能算一种取法87【根据第一个数的大小，将和大于 10 的取法分为 9 类：
8、因此，根据加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 种取法使和大于 10【巩固巩固】 （难度等级（难度等级）从）从 18 中每次取两个不同的数相加，和大于中每次取两个不同的数相加，和大于 10 的共有多少种取法？的共有多少种取法？ 【两个数和为 11 的一共有 3 种取法；两个数和为 12 的一共有 2 种取法；两个数和为 13 的一共有 2 种取法；两个数和为 14 的一共有 1 种取法；两个数和为 15 的一共有 1 种取法； 一共有 3+2+2+1+1=9 种取法【例例 3】 3】 （难度等级（难度等级 ）甲、乙、丙三个工厂共订）甲、乙、丙三个工厂共订 300 份报纸，每
9、个工厂至少订了份报纸，每个工厂至少订了 99 份，至多份，至多 101 份，份， 问：一共有多少种不同的订法？问：一共有多少种不同的订法？ 【甲厂可以订 99、100、101 份报纸三种方法 如果甲厂订 99 份，乙厂有订 100 份和 101 份两种方法，丙厂随之而定 如果甲厂订 100 份，乙厂有订 99 份、100 份和 101 份三种方法，丙厂随之而定 如果甲厂订 101 份，乙厂有订 99 份和 100 份两种方法，丙厂随之而定 根据加法原理，一共有种订报方法2327【巩固巩固】 （难度等级（难度等级 ）大林和小林共有小人书不超过）大林和小林共有小人书不超过 9 本，他们各自有小人书
10、的数目有多少种可能的本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的 情况？情况？ 【大林和小林共有 9 本的话，有 10 种可能；共有 8 本的话，有 9 种可能，共有 0 本的话，有 1 种可能，所以根据加法原理，一共有 10+9+3+2+1=55 种可能【例例 4】 4】 （难度等级（难度等级 ）四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自）四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自 己做的一张问：一共有多少种不同的方法？己做的一张问：一共有多少种不同的方法？ 【 设四个学生分别是 A，B，C，D，他们做的贺年片分别是 a，b，c，d 先考虑 A
11、 拿 B 做的贺年片 b 的情况（如下表），一共有 3 种方法第一个数第二个数有几种 第 1 类1101第 2 类210、92第 3 类310、9、83第 4 类410、9、8、74第 5 类510、9、8、7、65第 6 类610、9、8、74第 7 类710、9、83第 8 类810、92第 9 类91017-1.加法原理.题库 教师版 page 4 of 21同样，A 拿 C 或 D 做的贺年片也有 3 种方法一共有 333=9（种）不同的方法【例例 5】 5】 ( (第六届走美试题第六届走美试题) )一次，齐王与大将田忌赛马每人有四匹马，分为四等田忌知道齐王这次比一次，齐王与大将田忌赛
12、马每人有四匹马，分为四等田忌知道齐王这次比 赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等 马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等， 自己的四等田忌有自己的四等田忌有_种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛 【 【 【第一场不管怎么样田忌都必输，田忌只可能在接下来的三场里赢得
13、比赛，若三场全胜，则只有一种出场方法；若胜两场，则又分为三种情况： 二，三两场胜，此时只能是田忌的一等马赢得齐王的二等马，田忌的二等马赢齐王的三等马，只有这 一种情况； 二，四两场胜，此时有三种情况； 三，四两场胜，此时有七种情况； 所以一共有种方法1 13712 【例例 6】 6】 （难度等级（难度等级 ）把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三）把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三 种种 【 把一元钱换成角币，有三类分法：第一类：有五角币 2 张，只有 1 种换法： 第二类：有五角币 1 张，则此时二角币可以有 0，1，2 张，相
14、应的，一角币有 5，3，1 张，有 3 种换法；第三类：有五角币 0 张，则此时二角币可以有 0，1，2，3，4，5 张，相应的，一角币有 10，8，6，4，2，0 张，有 6 种换法 所以，根据加法原理，总共的换法有种13610【巩固巩固】 （难度等级（难度等级 ）一把硬币全是）一把硬币全是 2 分和分和 5 分的，这把硬币一共有分的，这把硬币一共有 1 元，问这里可能有多少种不同元，问这里可能有多少种不同 的情况？的情况？ 【 按 5 分硬币的个数对硬币情况进行分类： 如果 5 分硬币有奇数个，那么无论 2 分硬币有多少个都不能凑成 100 分如表当 5 分硬币的个数为 020 的偶数时，
15、都有对应个数的 2 分硬币所以一共有 11 种不同的情况类别12345678910115 分024681012141618202 分50454035302520151050【例例 7】 7】 （难度等级（难度等级 ）用）用 100 元钱购买元钱购买 2 元、元、4 元或元或 8 元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的 买法买法? ? 【 如果买 0 张 8 元饭票，还剩 100 元，可以购买 4 元饭票的张数为 025 张，其余的钱全部购买 2 元饭 票，共有 26 种买法；7-1.加法原理.题库 教师版 page 5 of 21如果买 l 张 8 元饭票，还剩 92 元，可购 4 元饭票 023 张，其余的钱全部购买 2 元饭票，共有
