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1、數學傳播33卷1期, pp. 57-64一個有趣的計算圓周率方法一 一雙反正切項尤拉型公式黃見利本文謹獻給作者的恩師 Dar o Castellanos 教授 (生於1937年12月4日; 逝於1995年11月23日)。 作者永遠懷念他的教誨。一. 前言在 1671 年, 蘇格蘭數學家 James Gregory 發現了下列的反正切型級數tan1x =Xn=0(1)nx2n+1 2n + 1,1 x 1.當 x = 1 時, 另一位偉大的數學家, 也是微積分的創造者之一, Gottfried Wilhelm Leibniz在三年後的 1674 年發現了所謂的 Leibniz 級數 4= 1 1
2、 3+1 51 7+1 91 11+ “不過, 一位反正切型級數的發現者, 而且還著手於圓周率超越性方面的研究, 會忽略了在他的級數中替代 x = 1 這麼如此明顯的舉手之勞, 還真是令人不可思議的一件事。 較可能的情況似乎是,他不認為替代 x = 1 在他的級數中是重要的, 因為它的收斂速度實在太慢了, 因而無法使用在圓周率的計算上。”1如果他真的如此考慮過, 那真是絕對正確且嚴謹周密的想法! 現在就讓我們來瞧一瞧這條級數的收斂速度到底有多慢。首先, 我們知道 Leibniz 級數是一種所謂的交替級數 (alternating series)。 因此, 我們可以利用下列著名的定理來估計誤差:
3、交替級數估計定理 (Alternating Series Estimation Theorem)假設 s =Pn=1(1)n1an為一交替級數之和, 而 sn=nPk=1(1)k1ak為其部份項之和,且滿足下列兩條件:5758數學傳播33卷1期 民98年3月(i) 0 an+1 an(ii) lim nan= 0= |Rn| = |s sn| an+1.由這個定理, 我們得到了一個令人驚異的事實。 假設我們現在想得到德國數學家 Ludolphvan Ceulen 在1615年死後才發表的35位圓周率小數3.14159265358979323846264338327950288。由於第 36 位
4、小數是4, 所以 |Rn| 251037不會影響到第 35 位小數的實際值。 所以 |Rn| 251037=1 4 1035, 亦即利用 Leibniz 級數計算 4 4 3+4 54 7+4 94 11+ +4 16 1035 1時, 絕對有 35 位圓周率小數的正確值。 不過, 話說回來, 僅僅因為想求得 35 位圓周率小數位數, 我們利用 Leibniz 級數竟然需計算 8 1035項才能得到! 我們所要下的苦工比 Ludolph van Ceulen 當年好不到那裏去, 甚至可能更糟! 因此, 在 1983 年之前, 幾乎所有圓周率小數位數的“狩獵者”使用了各種不同的方法將 Grego
5、ry 級數加以修飾從而增加它的收斂速度, 並且尋求有效的反正切型公式和其配合以計算圓周率小數位數。附帶一提的是, Archimedes 利用多邊形逼進圓形以求得圓周率小數位數的方法在 Lu-dolph van Ceulen 手中達到最高頂點。 他的一生大部份在現今的荷蘭渡過, 而且是獻給了圓周率小數位數的計算。 他的 35 位圓周率小數位數是死後才發表在其著作 De Arithmetischeen Geometrische fondamenten (Leyden, 1615) 上。 德國人為了敬佩其毅力和成就, 因此將圓周率稱為 Ludolph 數 (Ludolphsche Zahl)。在 1
6、983 年之前, 搜尋“好的”或“有效率的”反正切型公式是一件重要的數學工作。 但是,何謂“好的”或“有效率的”反正切型公式? 在 1938 年, D. H. Lehmer 首先提出“測度值”的概念來回答此問題2,3。 有興趣的讀者可參閱本文作者的另一篇文章4。 我們在此列出一些“好的”或“有效率的”反正切型公式讓讀者驚奇一下: 4= 83tan1?1 107? + 17tan1?1 1710? 22tan1?1 103697? 24tan1?1 2513489? 44tan1?1 18280007883? + 12tan1?1 7939642926390344818?+ 22tan1?1 3
7、054211727257704725384731479018? .measure: 1.34085 (Wetherfield, 2004)這是目前已知測度值最小的 Machin 型公式, 由本文作者的恩師 Wetherfield 在2004年9月所發現。 4= 183tan1?1 239? + 32tan1?1 1023? 68tan1?1 5832? + 12tan1?1 113021?一個有趣的計算圓周率方法雙反正切項尤拉型公式59 100tan1?1 6826318? 12tan1?1 33366019650?+ 12tan1?1 43599522992503626068? .measu
8、re: 1.50840 (黃見利, 2003) 4= 183tan1?1 239? + 32tan1?1 1023? 68tan1?1 5832? + 12tan1?1 110443?12tan1?1 4841182? 100tan1?1 6826318? .measure: 1.51244 (黃見利, 1994) 4= 83tan1?1 107? + 17tan1?1 4443? + 68tan1?1 11343? 5tan1?1 110443? 34tan1?1 595667? + 5tan1?1 4841182? .measure: 1.53457 (Wetherfield, 1995)
9、 4= 38tan1?1 47? 14tan1?1 610? 12tan1?1 247057? + 6tan1?1 740943?+ 14tan1?1 15628852? 7tan1?1 54608393? .measure: 1.58112 (Koepp, 1994) 4= 44tan1?1 57? + 7tan1?1 239? 12tan1?1 682? + 24tan1?1 12943? .measure: 1.58604 (St ormer, 1896) 4= 22tan1?1 28? + 2tan1?1 443? 5tan1?1 1393? 10tan1?1 11018? .meas
10、ure: 1.63435 (Escott, 1896) 4= 44tan1?1 109? + 95tan1?1 239? 12tan1?1 682? + 24tan1?1 12943? 44tan1?1 6826318? .measure: 1.65366 (Arndt, 1993)二. 一個有趣的新方法使用tan1?1 a b? = tan1?1a? + tan1?b a2 ab + 1? ,(4)60數學傳播33卷1期 民98年3月和tan1?1a? = 2tan1?1 2a? tan1?1 4a3+ 3a? ,兩條反正切型公式, 並且適當地選擇 a 和 b 的值, 讓我們可以轉換已經存在
11、了的公式或發現新的公式以計算圓周率的數值。 不過, 這兩條公式僅是下列公式的變型而已:tan1(z1) + tan1(z2) = tan1?z1+ z2 1 z1z2? .(5)當我們用 a = 2, b = 1 代入 (4), 便可得到 Euler 在 1738 年所發現的公式 4= tan1?12? + tan1?13? .(6)如果將此公式和下列 Euler 在 1755 年所發現的反正切級數5一起配合使用:tan1(x) =Xn=022n(n!)2 (2n + 1)!x2n+1 (1 + x2)n+1,(7)我們可得到 4=4 10? 1 +2 3?2 10? +2 4 3 5?2 1
12、0?2 + ? +3 10? 1 +2 3?1 10? +2 4 3 5?1 10?2 + ? .若以現代的電子計算機的“迴圈” (loop) 觀點來看, 這一條級數每做一個迴圈計算大約可以增加2 3位圓周率小數位數。 其中最特別的是, 這一條級數的每一個小括弧中的分母僅僅出現10! 這是由於 (6) 的關係使得 2 (22+ 1) = 10 和 32+ 1 = 10。重點來了。 我們有可能在其他的公式轉化成上述級數型式時也保留這個性質, 也就是每一個小括弧中的分母僅僅出現 10 的次方嗎?這個答案可以是肯定的, 只要符合下述情形。 我們現在將 (5) 重新寫成下列型式tan1?1a? = t
13、an1?1b? + tan1?b a ab + 1? ,(8)則我們會發現到, 假使 a2+ 1 可以被 5k整除且 b2+ 1 可以被 5s整除, k 和 s 皆為正整數,則公式?ab + 1b a?2 + 1 =(a2+ 1)(b2+ 1) (b a)2顯示出?ab + 1b a?2 + 1 可以被 5k+s整除! 更甚的是, 由公式 (8), 配合著公式 (7), 將產生如同上述級數所具有的每一個小括弧中的分母僅僅出現 10 的次方這種特殊性質!以下我們就開始用例子來說明這個奇妙的性質。 例如, 我們可以增進 (6) 的收斂速度, 只需將 tan1?12? 替換成 tan1?13? 加上
14、另一個反正切值即可。 將 a = 2 和 b = 3 代入 (8),我們得到tan1?12? = tan1?13? + tan1?17? ,一個有趣的計算圓周率方法雙反正切項尤拉型公式61結合 (6) 後, 產生了另一條新公式 4= 2tan1?13? + tan1?17? ,(9)C. Hutton 首先在 1776 年發現它, 並且發表在 Philosophical Transactions of the RoyalSociety。 約 70 年後的 1847 年, Thomas Clausen 利用此公式將圓周率計算至 248 位小數位數並且發表在 Astronomischen Nach
15、richten。公式 (9), 配合著公式 (7), 給出下列級數 4=6 10? 1 +2 3?1 10? +2 4 3 5?1 10?2 + ? +14 102? 1 +2 3?2 102? +2 4 3 5?2 102?2 + ? .現在, 可以注意到, 正如前文所預測的, 我們已經增進了收斂速度; 這一條級數每做一個迴圈計算大約可以增加 1 位圓周率小數位數, 而且維持每一個小括弧中的分母僅僅出現 10 的次方這種特殊性質!為了增進 (9) 的收斂速度, 我們將 tan1?13? 替換成 tan1?17? 加上另一個反正切值,亦即將 a = 3 和 b = 7 代入 (8), 得到tan1?13? = tan1?17? + tan1?2 11? ;結合 (9) 後, 又產生了另一條新公式 4= 2tan1?2 11? + 3tan1?17? .(10)配合著 (7), 此公式給出下列級數 4=352 103? 1+2 3?32 103? +2 4 3 5?32 103?2 +? +42 102? 1+2 3?2 102? +2 4 3 5?2 102?2 +? .這一條級數每做一個迴圈計算大約可以增加 112位圓周率小數位數。再一次, 令 a =11 2和 b
