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1、20132013 年年初等数论初等数论自考试卷参考答案（安徽）自考试卷参考答案（安徽） 一、判断题（每小题一、判断题（每小题 2 2 分，共分，共 2020 分）分） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.（）(2)1 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 2 2 分，共分，共 2020 分）分）1. 1 2.44 3.1 4. 1,2,4,5,7,8 5. 123(,)a a ac6. 24 7. 若,则 8. 1 9. 7 10. 1 10 0niaai i 063ni iaa且个位数偶数三、计算题（每小题三、计算题（每小题 1010 分，共分，共 3030 分）分）
2、 1.解：(三元一次不定方程，参照课本 P33 例子)（25,13,7）=1，故方程有解. 考虑方程及，1 425 +13xyt+74tz利用求二元一次不定方程的方法（用辗转相除法求特殊解）得上面的两个方程的解分别为，消去 t 就得到所求的解，其中.13 225xtu ytu 37 1tv zv 3 137 62514 1xuv yuv zv , u v2.解：设两个根为，由韦达定理得，由于，故12,x x121122+xxpxxp 122,x xp为正整数，为质数，则有，（因为大于 2 的质数为奇数，奇数+1 为偶122=1,=xxp1221+=1+=xxpp12,p p 为质数2=p只可能
3、2数，这样不是质数） ，故.1p12+=3+2=5pp3.解：（孙子定理，参照课本 P77）由于 7,8,9 两两互质，则由孙子定理列表如下：除数余数最小公倍数衍数乘率各总答数7172428881633189935045658401317237(mod504)x 由上表知同余式组的解为.1317237(mod504)x 四、证明题（每小题四、证明题（每小题 1010 分，分，3 3 题共题共 3030 分）分）1.1.证明：证明：,则由欧拉定理得,( , )1,1,1m nm nmn，进一步有( )1(mod )nmn()1(mod)mnm ，( )()()+11(mod )nmmmnnn ( )()( )+11(mod)nmnmnmm 故( )()+1(mod)nmmnmn2.2.证明证明: : 因为,所以只需证明.133) 1(233nnnn1332 nn0)5(mod而我们知道模 5 的完全剩余系由-2,-1,0,1,2 构成,所以这只需将 n=0,1,2 代入分别得值 1，7，1，19，7.1332 nn对于模 5, 的值 1，7，1，19，7 只与 1，2，4 等同余,所以. 1332 nn1332 nn0)5(mod所以相邻两个整数的立方差不是 5 的倍数. 3.3.证明证明: :
