2010建模a题论文四

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1、储油罐的变位识别与罐容表标定的优化模型摘要 本文通过对小椭圆储油罐的实验数据以及实际储油罐的检测数据进行分 析，针对题目的两个问题分别建立了较为优化的数学模型。利用 Excel、MATLAB 等软件对采样数据进行分类、整理，并对模型进行求解，得出 了较为理想的结果。 问题一：我们首先将储油罐两端的椭圆设为标准方程，然后利用积分建立了无位变情况下储油体积（）与油位高度(m)的函数关系：3m。再通过计算不同高度下的体22.450( )1arcsin2hbhbhbV habbbbdz积得到了由压力、温度等因素引起的系统误差（L）与高度（mm）的变化关系：。当有纵向偏转角时，我8328.387 100

2、.00015030.058421.744hhhh （）们利用 matlab 编程（见附录 1）对高度 h 进行数值积分，得到几何校正后不同高度的储油体积以及原系统误差与引起的系统误差之和的函数关系式：( )Vh校正。通过分析可知倾斜角引起7322.889 100.0(010281.024.4)222xxxh的系统误差使得测量值比理论计算值偏大。可采用公式( )( )( )VhVhh校正实际从新标定罐容表(见表一)。最后，我们利用祖暅原理，将倾斜角为 时的储油 体积转换为标准的椭圆柱体体积，得到优化模型：20.825tan( )0.825tan( )0.825tan( )1arcsin2( ,

3、)hbhbhbabLbbbV h问题二：我们通过将非规则的三围形体转化成规则三围形体进行积分，得 到实际储油罐中储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）的一般关系：，其中表示圆( , )2( , )VVhVh 柱体球罐( , )Vh 柱体柱体内液体体积 表示一个球罐内液体体积。然后将附件 2 中不同( , )Vh 球罐的油高代入到 V，再利用相邻时刻的体积差等于出油量，即： (1)Vi出油量=V(i+1)-V(i) 得到含有未知数的方程组。通过 matlab 进行最小二乘拟合, 求得: =，=；将值代入上述 V 中，通过 V 和系统误差校正求2.14o5.61o, 出间隔为

4、10cm 的罐容表标定值（见表二） 。最后通过将值设为，并把显, 0o示油位高度代入 V 中，计算所得值与附件 2 中的显示油量容积相同，说明此模 型是正确的。关键词 罐容表，位变，系统误差，几何误差，积分一一问题重述与提出问题重述与提出通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的 “油位计量管理系统” ，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度 等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行 实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发 生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为

5、变位） ，从而导致罐容表发生改变。按 照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。 为了能够准确的反映罐内油位高度和储油量的变化，我们需要解决如下储 油罐的变位识别与罐容表标定的问题： 1.通过对小椭圆型罐体无变位和倾斜角为=4.1 度的纵向变位两种情况的 实验以及所得数据，建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐 体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。 2.对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储 油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般 关系。并利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，确定变位参数，以 及罐体变位后油位

6、高度间隔为 10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件 2 中的实 际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。二二基本假设与符号说明基本假设与符号说明（一）模型假设 1储油罐密封性较好，在储存过程中不会产生燃油泄漏； 2外界气压、温度等因素稳定； 3. 油位探针与储油罐连为一体，且均为刚体； 4. 油不会粘在器壁上，探针、输油管的体积忽略不计； 5. 倾斜角度较小，不会对检测装置产生很大影响； 6. 注油出油过程中，储油罐内液体体积连续变化。 （二）符号说明a 、b椭圆的长短半轴h探针指示的油面高度横向倾角纵向倾角s(h)椭圆弓形面积V油的体积L油罐长度H球缺高度R圆柱体半径r球缺半径左边

7、球心建立坐标时油面积分长度右边球心建立坐标时油面与横轴的交点坐标右边球心建立坐标时油面与右边平顶的交点坐标左边球心建立坐标时油面与横轴的交点坐标左边球心建立坐标时油面与左边平顶的交点坐标积分区域三三模型的分析、建立与求解模型的分析、建立与求解问题一：研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出修正后的标定值3.1.13.1.1 建立无变位时椭圆柱体储油罐的油量模型建立无变位时椭圆柱体储油罐的油量模型 当储油罐没有倾斜角时，罐内油位高度与测量值相同，设为高度 h。因为 此时液面与罐体所围图形是规则形体，故利用定积分很容易得出储油体积的计 算值。( )V h建立如图所示坐标系，可得椭圆油罐截面方程为：。设

8、椭圆弓22221xy ab形的面积为：，则：( )s h222( )h bbas hby dyb2 1arcsin2hbhbhbabbbb然后再对 Z 进行积分，可得体积与高度的函数关系：2.450( )( )V hs hdz代入附件 1 的相关数据，得到不同油位高度下储油体积的计算值（见表（见表 1） 。我们通过计算出系统误差 随高度的变化情况（见图 1） 。hVV计算实际（）Ay12yBy12y1D2D 1x线性拟合后，得到：。8328.387 100.00015030.058421.744hhhh （）从图上可以看出，由于系统误差的存在导致测量值比理论计算值小。并且油位 高度越大，测量值

9、比理论计算值越小。3.1.23.1.2 建立罐体变位后的储油量与纵向偏转角的模型（如图建立罐体变位后的储油量与纵向偏转角的模型（如图 2 2 所示）所示）图 2 我们对储油罐的正面、截面示意图进行分析，发现当液面与油罐的交线处 于不同位置时，可以将其高度分为四段。临界情况如下： 1）液面与储油罐的交线刚好过底面的最高点； 2）液面与储油罐的交线刚好过顶端最低点； 3）液面与储油罐的交线刚好过探针与油罐的交点。对应的临界 h 分别为：图 11232.05tan20.4tan2hhbhb建立如图所示坐标系，先把截面椭圆弓形部分面积计算出来，由椭圆油罐截面方程为：。设椭圆弓形的面积为：22221zy

10、 ab( )s h则：222( )h bbas hby dyb2 1arcsin2hbhbhbabbbb那么，液体的体积：。( )Vs h dz液面与罐体交线不同，积分区域不同，对应的的表达式相同。h/ tan( ) / tan( )(0.4)hh hhx 得到：(0.4)tanhhx1、当时，即油罐已经见底。如图 3 所示：10hh积分的积分区间为 ( )Vs h dz0 tan( )h则： V 2tan()1 01hhbbyVadydxb10hh2、当时，油罐即没有见底也没有到顶。如图 4 所示：12hhh图 3积分的积分区间为 ( )Vs h dz0 2.45V 22.452 01hbb

11、yVadydxb 12hhh3、当时，即油罐一端到顶。如图 5 所示：23hhh积分的积分区间为 ( )Vs h dz2()cot( ) 2.45hhV 222.4532 ()cot()cot1hbh hbyVhhabadydxb23hhh4、当 后就失去修正的意义。如图 6 所示：3hh图 4图 4图 5图 6无效时的液体体积： 22.454 0.40.41hbbyVabadydxb 3hh综上所述，利用 matlab 等数学软件对所建模型进行求解，数值积分后可得 到不同油位高度下储油体积的计算值（见表 1） 。此时结果校正了 引起的几 何误差。又因为原系统误差和 引起的系统误差（方便起见，

12、下述将二者统称 为系统总误差）仍然存在，所以罐容表还需进一步校正。我们通过得到不同高度下的系统总误差，然后将其和hVV计算实际（）油位高度 h 进行拟合，得到相应图形如下所示（图 7）：图 7其拟合后方程式为：。 从图上7322.889 100.0(010281.024.4)222xxxh可以看出系统总误差随着油位高度的增加先增大后减小。当油位高度在0, 299.8 mm 范围内变化时，系统总误差使测量值大于理论计算值，即产生负误差。当 油位高度在299.8,1200mm 范围内变化时，系统总误差使测量值小于理论计算 值，即产生正误差。此时，罐体变位后的校正公式为：( )( )( )VhVhh

13、校正实际通过可将倾斜角 引起的系统误差分离，利用 matlab 数学软( )( )( )hhh 件将其方程绘图如下：同时。从图上可以看出732( )3.7277 100.00117830.96558220.656hxxx倾斜角 引起的系统误差使得测量值比理论计算值大，在油面高度达到 299.8mm 之前， 引起的系统误差对系统影响力较大。当油面高度达到 299.8mm 时，压力、温度等引起的原系统误差与 引起的系统误差对系统影响 力相同。在油面高度超过 299.8mm 以后，压力、温度等引起的原系统误差对系 统影响力较大。3.1.33.1.3 油位高度间隔为油位高度间隔为 1cm1cm 的罐容

14、表标定值计算的罐容表标定值计算 通过上述分析可知，在对罐容表重新进行标定时需要考虑 3 个误差因素： 1）压力、温度等引起的原系统误差。 2）倾斜角 引起的系统误差。 3）倾斜角 引起的几何误差。此时可以采用校正公式来计算标定值。其中( )( )( )VhVhh校正实际是对 引起的几何误差进行校正，是对压力、温度等引起的原系( )Vh校正( )h统误差和 引起的系统误差（即系统总误差）进行校正。 我们利用 matlab 数学软件进行编程（见附录 2） ，步长定为 0120cm,间隔 为 1cm，循环求出校正后各个油位高度下的标定值（见表格 1） 。3.1.43.1.4 罐体变位后的储油量与纵向

15、偏转角的优化模型罐体变位后的储油量与纵向偏转角的优化模型 上述的数学模型使系统总误差较大，且计算复杂。我们可以利用“祖冲之 原理”建立一个简化模型，将倾斜角为 时罐内石油体积转换为标准的椭圆柱 体体积。这样可以大大减少运算。基本思想是：过液面 AD 的中点 O 做与油罐底平行的直线 BC，然后过点 O 做直线 BC 的垂线，高度为。设油浮子的高度h为 h。图 8因为，所以液体的横截面积等于长方形 BCEF 的面积。根据祖AOBCOD 冲之原理就可以转换成标准椭圆柱体体积。由三角形相似关系可得：（1）0.825tan( )hh因为标准椭圆柱体体积为：2 1arcsin2hbhbhbabLbbbV将（1）式代入上述体积公式即可得倾斜角为 ，油位高度为 h 时罐内石油体 积：20.825tan( )0.825tan( )0.825tan( )1arcsin2( , )hbh