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1、抛物线专题第 1 页抛物线练习（定点定值垂直等）抛物线练习（定点定值垂直等）例例 1 1.已知已知是抛物线是抛物线上的两点，且上的两点，且,A B22(0)ypx pOAOB求证：（求证：（1 1）求）求ABAB两点的横坐标之积和纵坐标之积两点的横坐标之积和纵坐标之积; ; （2 2）直线）直线ABAB恒过定点恒过定点; ; （3 3）求弦）求弦中点中点的轨迹方程的轨迹方程; ;ABP（4 4）求）求面积的最小值；面积的最小值；AOB （5 5）在在上的射影上的射影轨迹方程轨迹方程. . OABM思考 1：若将 O 点改为抛物线上任意点，AB 直线是否仍过定点？思考 2：本题中，即表示 OA、
2、OB 斜率之积为-1，若 kOA kOB=m(m 为不为零的OAOB 常数),直线 AB 是否过定点，试先举特例研究，再做一般性研究； 思考 3：若 kOA+ kOB=n(n 为非零常数), 直线 AB 过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研 究； 思考 4：把问题 3 和问题 4 中的 O 点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？思考 5：上述结论在椭圆中成立吗？抛物线专题第 2 页例 2.在专题 7 例 1 中，椭圆上任找一点 A，作两条斜率之和为 0 的直线，分别交椭圆与另外亮点 B 和 C,有 BC 斜率为定值（简称一定二动斜率定值）试着以抛物线上点 A（4，4）,作两条斜率之和为 0
3、 的弦 AB,AC 分别交抛物线于24yxB、C 两点，证明：BC 斜率为定值。例 3.类比于专题 7 例 4-例 6已知抛物线，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，试问轴上是否存在点，24yxxP使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。PFAPBP思考思考 1：若上述问题改为过求出的定点 P，做两条直线，分别交抛物线于点 A,B 且满足直线 AP 与 BP 斜率之和为 0，且 A、B 不关于 x 轴对称，证明直线 AB 过定点. 思考思考 2：若上述问题改为过求出的定点 P，做一条直线，交抛物线于点 A,B 探究的关系。,AFBFKK抛物线专题第 3 页思考思考 3：若题
4、中出现的点不是焦点，是否有类似规律,如下题：已知定点，动点在轴上，动点在轴的正半轴上，动点满足:， ( 3,0)H PyQxM0HP PMuuu r uuu u r.设动点 M 的轨迹为曲线，过定点的直线 与曲线相交于3 2PM uuu u r MQC( ,0)(D m0)m lC两点AB、（1）求曲线的方程；C（2）若点的坐标为，求证：；E(,0)mAEDBED （3）是否存在实数使得以为直径的圆截直线所得的弦长恒为定值？若存在求出, aAD:lxa实数的值；若不存在，请说明理由.a抛物线专题第 4 页例 4：类比于专题 8：在椭圆中，将准线和焦点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明：如图：
5、若是过抛物线焦点的弦，是的中点, 是抛物AB)0(22ppxyFMABl线的准线,，为垂足，,为垂足.证明：lMN NlBD lAH DH （1）；即以AB为直径的圆和抛物线的准线相ANBN 切 （2）；HFDF（3）；FNAB （4）A、O、D 三点共线；（能否推广？能否推广？F(a,0),）: l xa 思考：若是过抛物线焦点的弦，过 A 和 B 分别做抛物线的切线，切线AB)0(22ppxyF交于点 M，试着猜想 M 的轨迹并证明；（参考专题 8 例 3）抛物线专题第 5 页抛物线练习（定点定值垂直等）抛物线练习（定点定值垂直等）例例 1 1.已知已知是抛物线是抛物线上的两点，且上的两点
6、，且,A B22(0)ypx pOAOB求证：（求证：（1 1）求）求ABAB两点的横坐标之积和纵坐标之积两点的横坐标之积和纵坐标之积; ; （2 2）直线）直线ABAB恒过定点恒过定点; ; （3 3）求弦）求弦中点中点的轨迹方程的轨迹方程; ;ABP（4 4）求）求面积的最小值；面积的最小值；AOB （5 5）在在上的射影上的射影轨迹方程轨迹方程. . OABM（1）（2）（3）（5）222()xpyp思考 1：若将 O 点改为抛物线上任意点，AB 直线是否仍过定点？思考 2：本题中，即表示 OA、OB 斜率之积为-1，若 kOA kOB=m(m 为不为零的OAOB 常数),直线 AB 是
7、否过定点，试先举特例研究，再做一般性研究；过定点AB。),2 2(02 0ymp py思考 3：若 kOA+ kOB=n(n 为非零常数), 直线 AB 过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究；直线过定点AB).2,2 2(002 0ynp ny py思考 4：把问题 3 和问题 4 中的 O 点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？思考 5：上述结论在椭圆中成立吗？抛物线专题第 6 页例 2.在专题 7 例 1 中，椭圆上任找一点 A，作两条斜率之和为 0 的直线，分别交椭圆与另外亮点 B 和 C,有 BC 斜率为定值（简称一定二动斜率定值）试着以抛物线上点 A（4，4）,作两条斜率之和为
8、 0 的弦 AB,AC 分别交抛物线于24yxB、C 两点，证明：BC 斜率为定值。,一般情况下 A()，结论为1 200,xy0p y例 3.类比于专题 7 例 4-例 6已知抛物线，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，试问轴上是否存在点，24yxxP使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。 （-1，0）PFAPBP思考 1：若上述问题改为过求出的定点 P，做两条直线，分别交抛物线于点 A,B 且满足直线 AP 与 BP 斜率之和为 0，且 A、B 不关于 x 轴对称，证明直线 AB 过定点. 思考 2：若上述问题改为过求出的定点 P，做一条直线，交抛物线于点 A,B 探
9、究的关系。,AFBFKK0AFBFKK思考 3：若将 P 改为 x 轴负半轴上的其它点，是否有类似规律,如下题：已知定点，动点在轴上，动点在轴的正半轴上，动点满足:， ( 3,0)H PyQxM0HP PMuuu r uuu u r.设动点 M 的轨迹为曲线，过定点的直线 与曲线相交于3 2PM uuu u r MQC( ,0)(D m0)m lC两点AB、（1）求曲线的方程；C（2）若点的坐标为，求证：；E(,0)mAEDBED （3）是否存在实数使得以为直径的圆截直线所得的弦长恒为定值？若存在求出, aAD:lxa实数的值；若不存在，请说明理由.a22、解：（）设,( , ), (0,),
10、( ,0)(0)M x y PyQ xx 3,2PMMQ uuu u ruuu u rQ0.HP PMuuu r uuu u r且, 3( ,)(,)2x yyxxy (3,) ( ,)0yx yy211,30.32xx yyxyyy . 4 分24 (0)yx x抛物线专题第 7 页动点 M 的轨迹 C 是以 O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）.5 分（）解法一：（1）当直线 垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有；lxAEDBED 6 分（2）当直线 与轴不垂直时，依题意，可设直线 的方程为，lxl()(0,0)yk xm km，则 A，B 两点的坐标满足方程组1122
11、( ,),(,)A x yB xy2()4 (0)yk xmyx x 消去并整理，得x,2440kyykm. 7 分12124,4yyy ymk 设直线 AE 和 BE 的斜率分别为，则:12kk、12kk+1212yy xmxm122112()() ()()y xmyxm xm xm22 1221121211()44 ()()y yy ym yyxm xm . 9 分121212121()()4 ()()y yyym yyxm xm 12144( 4 )( )40()()mmkk xm xm ,tantan(180)0AEDBED,tantanAEDBED，02AED Q02BED .AED
12、BED 综合（1） 、 （2）可知. 10 分AEDBED 解法二：依题意，设直线 的方程为，则 A，B 两l(0)xtym m1122( ,),(,)A x yB xy点的坐标满足方程组:24 (0)xtymyx x 消去并整理，得x,2440ytym. 7 分12124 ,4yyt y ym BADFxOyH GOEBADFxOyH GOE抛物线专题第 8 页设直线 AE 和 BE 的斜率分别为，则:12kk、12kk+1212yy xmxm122112()() ()()y xmyxm xm xm22 1221121211()44 ()()y yy ym yyxm xm . 9 分1212
13、12121()()4 ()()y yyym yyxm xm 121( 4 )(4 )440()()mtmtxm xm ,tantan(180)0AEDBED,tantanAEDBED，02AED Q02BED . 10 分AEDBED （）假设存在满足条件的直线，其方程为，AD 的中点为，与 AD 为直径的lxaOl圆相交于点 F、G，FG 的中点为 H，则，点的坐标为.O HFGO11(,)22xm y,22 1111()22O FADxmyQ2 111()42xmx,1 11222xmO Haaxm222FHO FO H22 11111()4(2)44xmxaxm. 12 分1(1)()a
14、mxa ma,22 1(2)4 (1)()FGFHamxa ma令，得10am 1am此时，.24(1)FGm当，即时，（定值）.10m 1m 21FGm当时，满足条件的直线存在，其方程为；当时，满足条件的1m l1xm01m 直线不存在. 14 分l例 4：类比于专题 8：在椭圆中，将准线和焦点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明：如图：若是过抛物线焦点的弦，是的中点, 是抛物AB)0(22ppxyFMABl线的准线,，为垂足，,为垂足.证明：lMN NlBD lAH DH抛物线专题第 9 页（1）；即以AB为直径的圆和抛物线的准线相ANBN 切 （2）；HFDF（3）；FNAB （4）A、O、D 三点共线；（能否推广能否推广）思考思考 1：若是过抛物线焦点的弦，过AB)0(22ppxyFA 和 B 分别做抛物线的切线，切线交于点 M，试着猜想 M 的轨 迹并证明；（参考专题 8 例 3）
