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1、 第第 1 1 页页总总 1515 页页1勾股定理勾股定理典型例题分析典型例题分析一、知识要点：一、知识要点：1 1、勾股定理、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。2 2、勾股定理的逆定理、勾股定理的逆定理如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： 已知的条件：某三角形的三条
2、边的长度.满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3 3、勾股数、勾股数满足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（3 3，4 4，5 5 ）(5(5，1212，1313 ) ) ( ( 6 6，8 8，1010 ) ) ( ( 7 7，2424，2525 ) ) ( ( 8 8，1515，1717 )(9)(9，1212，1515 ) ) 4 4、最短距离问题
3、：最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。两点之间线段最短。 二、考点剖析二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆2. 如图，以 RtABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系第第 2 2 页页总总 1515 页页23、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S31） ，那么它的斜边长是（ ）1n2A A、2n2n
4、 B B、n+1n+1 C C、n n2 21 1 D D、1n27 7、在 RtABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A.A. B.B. C.C. D.D.以上都有可能以上都有可能222abc222acb222cba8 8、已知 RtABC 中，C=90C=90，若a+b=14cma+b=14cm，c=10cmc=10cm，则 RtABC 的面积是（ ）A A、2424B B、3636 C C、4848D D、60602cm2cm2cm2cm9 9、已知 x x、y y 为正数，且xx2 2-4+-4+（y y2 2-3-3）2 2=0=0，如果以 x、y 的长为直角边
5、作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、5B、25 C、7D、15 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图 1 所示，等腰中，是底边上的高，若，求 AD 的长；ABC 的面积考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A.A. 4 4，5 5，6 6 B.B. 2 2，3 3，4 4 C.C. 1111，1212，1313
6、D.D. 8 8，1515，1717第第 4 4 页页总总 1515 页页42 2、若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ）A A、234234 B B、346346 C C、5121351213 D D、4674673 3、下面的三角形中：ABC 中，C=AB；ABC 中，A：B：C=1：2：3；ABC 中，a：b：c=3：4：5；ABC 中，三边长分别为 8，15，17其中是直角三角形的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4 4、若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（ ）21:122A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形5 5
7、、已知 a，b，c 为ABC 三边，且满足(a(a2 2b b2 2)(a)(a2 2+b+b2 2c c2 2) )0 0，则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6 6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7 7、若ABC 的三边长 a,b,c 满足试判断ABC 的形状。222abc20012a16b20c，8 8、ABC 的两边分别为 5,125,12，另一边为奇数，且a+b+ca+b+c是 3 的倍数，则 c 应为 ，此三角形为 。例例 3
8、3：求：求第第 5 5 页页总总 1515 页页5（1 1）若三角形三条边的长分别是 7,24,257,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。（2 2）已知三角形三边的比为 1 1：2 2，则其最小角为 。3考点五考点五: :应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算
9、出来吗？2、一架长 2.52.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.70.7m （如图） ，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.40.4，那么梯子底端将向左滑动 mm 米3、如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地86ABC第第 6 6 页页总总 1515 页页6面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米， （填“大于” ， “等于” ，或“小于” ）4、在一棵树 1010 m m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m20m 处的池塘 A 处；另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外，距离以直线计算，如果两只猴
10、子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 .6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米7、如图 18-15 所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登 陆后，往东走 8km8km，又往北走 2km2km，遇到障碍后又往西走60120140B60AC第 5 题图 78 米 2 米 8 米 第 6 题图 153 28BACADB第第 7 7 页页总总 1515 页页73km3km，再折向北方走到 5km5km 处往东一
11、拐，仅 1km1km就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏 埋藏点（B处）的直线距离是多少？考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6AC=6，BC=8BC=8，将ABC 折叠，使点 B 与点 A 重 合，折痕为 DE，则 CD 等于（ ）A. B. C. D. 425 322 47 352、如图所示，已知ABC 中，C=90C=90，ABAB 的垂直平分线交 BCBC于 M，交 AB 于 N，若AC=4AC=4，MB=2MCMB=2MC，求 AB 的长3、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知 AB=8CM,BC=10CMAB=8
12、CM,BC=10CM,求 CFCF 和ECEC。4、如图，在长方形 ABCD 中，DC=5DC=5，在 DC 边上存在一点 E，沿直线 AE 把ABC 折叠，使点图 18-15ABCEDABCEFD第第 8 8 页页总总 1515 页页8D 恰好在 BC 边上，设此点为 F，若ABFABF 的面积为 3030，求折叠的AED 的面积DCBAFE5、如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD=9AD=9，宽 AB=3AB=3，将其折叠， 使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长是多少？6、如图，在长方形 ABCD 中，将ABC 沿 AC 对折至AEC 位置，CE 与 AD 交于点 F。 （1）
13、试说明：AF=FCAF=FC；（2）如果 AB=3AB=3，BC=4BC=4，求 AF 的长7、如图 2 所示，将长方形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 正好落在 BC 边上 F 点处，已知 CE=3cmCE=3cm，AB=8cmAB=8cm，则图中阴影部分面积为_第第 9 9 页页总总 1515 页页98、如图 2-3，把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C的位置上，已知 AB=3AB=3，BC=7BC=7，重合部分EBD 的面积为_9、如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC 于 F，边 AB
14、 折叠后与 BC 边交于点 G。如果 M 为 CD 边的中点，求证：DEDE：DMDM：EM=3EM=3：4 4：5 5。10、如图 2-5，长方形 ABCDABCD 中，中，AB=3AB=3，BC=4BC=4，若将该矩形折叠，使 C 点与 A 点重合，则折叠后痕迹 EFEF 的长为（ ）A A3.743.74 B B3.753.75 C C3.763.76 D D3.773.772-511、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm10cm，宽为 4cm4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合） ，在 AD 上适当移动三角板顶点P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点
