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1、两点间的距离公式两点间的距离公式一、教学目标：一、教学目标：1、 知识目标探索并掌握两点间的距离公式的发生、发展过程。利用坐标法证明简单的平面几何问题；2、 能力目标掌握渗透于本节课中的数形结合思想、由特殊到一般的思想。培养学生探索能力、研究能力、表达能力、团结协作能力；3、 情感目标探索过程中体验与他人合作的重要性、感受发现所带来的快乐。体验由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识的基本规律。二、教学重点和难点：二、教学重点和难点：重点：两点间的距离公式及公式的推导过程；难点：用坐标法证明简单的平面几何问题，本节课中的例 4 是教学中的难点。三、教学方法：三、教学方法：提问、思考、讨论、总结；
2、四、教学流程：四、教学流程：（一）学生活动 (3 分钟)问题 1：已知数轴上两点 A（2，0），B（3，0）的坐标，求 AB 间的距离。（学生先思考片刻，叫一学生回答，老师按学生的思路板书分析，得出答案是 5。）问题 2：若 A，B 两点在 X 轴上或与 X 轴平行，距离又是多少呢12,0 ,0A xB x（学生受上题的引导，会在草稿纸上画图分析，思考片刻后，请一同学回答|AB|=）12xx问题 3：若 A，B 两点在 Y 轴上或与 Y 轴平行，距离又是多少12,0 ,0A yB y呢？（全班同学齐答|AB|=）12yy师总结：对上述问题的分析，我们不难得出与坐标轴平行的线段的长度都可以通过点
3、的坐标求出来，若有向线段与坐标轴不平行时，能否通过端点的坐标求出线段的长即两端点间的距离呢？本节课我们就一起来探讨这个问题。(教师板书课题两点间的距离公式) （二）建构数学 （7 分钟）已知：平面上两点，怎样求两点间的距离？111222( ,),(,)P x yP xy12PP老师在直角坐标系上画出两点（与坐标轴不平行） ，如图所示；引导学生能否借助点，作出与坐标轴平行的线段，利用勾股定理即可求出线段的长具体解法如下：如12PP图所示，设 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，从 P1、P2 分别向 x 轴和 y 轴作垂线 P1M1、P1N1和 P2M2、P2N2，垂足分别为 M1(x1，0
4、)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1 和 P2M2 相交于点 Q在 Rt中，12PPQ222 1212PPPQPQ=|=|112PQM M12xx1PQ12xx=|= 2PQ12N N12yy2PQ12yy=+ =+2 12PP2 12xx2 12yy2 12xx2 12yy老师总结：以上解法是利用勾股定理将直角坐标系中两点间的距离化为数轴上两点间的距离来求，这里用到了化归的方法在上述过程中，我们强调点不在坐标轴上或两点的连线不与坐标轴平行，那么当点满足上述条件时，这个公式是否也成立？老师提出问题，学生可以分组讨论，最后叫学生代表得出结论，以上公式也适合。
5、特别的，原点 O（0，0）与任一点 P（x，y）的距离公式为也满足上式；22 12xx问题 4：同学们是否可以用其他的方法来探求这个问题？（稍侯，引导学生主动发言）学生对旧知识的回顾可以用向量的模长来表示两点间的距离公式；培养学生善于联想， 新旧知识间的内在联系，激发学习的兴趣。（三）数学运用师：请同学们把课本翻到 106 页，完成第一题；请两个学生黑板上演板。老师结合学 生练习情况作点评。（3 分钟）例 3：以知点 A（-1，2），B（2， ），在 x 轴上求一点，使 ,并求7PAPB的值。（12 分钟）PA分析：P 点坐标是关键，如何设该点坐标?(适当发散，y 轴上点，某直线上的点如何表
6、示)解：设所求点 P（x，0），于是有2222102207xx由 得 解得 x=1。PAPB2225411xxxx所以，所求点 P（1，0）且 通过例题，使学221 1022 2PA 生对两点间距离公式理解，应用。问题 5：同学们，以上这种解法是利用刚才所学的两点间距离公式来解决的，我们能否用其他的解法？（学生思考，讨论，教师巡视，叫一学生板书）解法二：由已知得，线段 AB 的中点为，直线 AB 的斜率为 k=1 2 ，1 2 线段 AB 的垂直平分线的方程是 y-1 2 在上述式子中，令 y=0，解得 x=1。所以所求点 P 的坐标为（1，0） 。因此老师对这位同学的解法作讲解，突出本题可运
7、用平面几何的一个性质定理，线段中垂线上的点到两短点的距离相等。问题 6：试在 X 轴上求一点 M 使的距离最短，求出 M 点坐标。MAMB（学生先独立思考后可讨论，并请一学生代表发言）得出解题思路：作 B 点关于 X 轴的对称点，连接 AC，即 AC 两点间的距离为所求的最小值，AB 直线与 X 轴的(2,7)C交点为所求的 M 点。（四）巩固反思，灵活应用 （用两点间距离公式来证明几何问题。 ）例 4： 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 （15 分钟）分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。这一道题可以让学生讨论
8、解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤，适时渗透文字语言，图形语言，符号语言的转化。证明：如图所示，以顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，有（，） ，设（，） ，（，） ，由平行四边形的性质的点的坐标为（，） ， （为什么？）又因为，22222222ABaCDaADbcBC，2ACab，所以，.所以，.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。问题 7：在例 4 中，是否还有其他建立坐标系的方法？（把学生不同的方法在投影仪上放映）让学生体会建立坐标系对证明平面几何问题的重要性，不同的建系，点坐标不同，起实质是一样的。（3 分钟） 老师总结：通过例 4 初步总结用坐标法解决平面几何问题的基本步骤第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系；五、归纳小结：五、归纳小结：（2 分钟）1、 探究两点间的距离公式的推导过程及公式的应用。2、 用坐标法证明平面几何问题初步。六、作业布置：六、作业布置：课本第 110 页第 6，7，8 题（A 组），第 117 页第 8 题（B 组）七、教学反思，板书设计：七、教学反思，板书设计：
