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1、向量在立体几何中的应用向量在立体几何中的应用一、教学目标：知识技能目标：1、进一步理解空间向量在立体几何中的运用。解决平行和垂直两个问题。2、利用向量解决立体几何问题培养学生数形结合的思想方法；方法过程：通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系， 利用向量的坐标运算将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。情感价值目标：通过空间向量在立体几何中的的运用，让学生感受空间向量作为工具解决几何问题的乐趣和意义，从而激发学数学、用数学的热情。二、教学重点、难点、关键：重点：用空间向量解决平行和垂直问题的向量表现形式。难点：向量运算的结果与几何问题的转化。关键：正确建立空间直角坐标系，写出
2、空间向量的坐标，以及平面法向量的求解。 三、教学过程例 1，如图（1）VABC 中，VABC，VBAC，求证：VCAB。解：易知=0VBVAVCVAVBVCVABCVA)(同理 0VAVBVCVB-得即 0VCVBVCVA0)(VCBAVCVBVAVCAB例 2，如图 2，VABC 是正四面体，E、F 分别为 VA、BC 的中点，求证：EF 是VA 与 BC 的公垂线。解：易知 )(21 21VCVBVAVFEVEF设棱长都为 a，则2 2160cosaaaVCVAVBVAVAVCVBVAVAEF)(21 212=0)21 21(21 21222aaa，即得证BCEFVAEF同理, 例 3，平
3、行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAD=90，BAA1=DAA1=60，求 AC1的长。解：如图 3，111AAADABCCBCABAC11212221222AAADAAABADABAAADABAC=16+9+25+0+245cos60+235cos60=85 即85|1AC例 4，如图 4，O-ABC 中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，OAC=45，OAB=60，求 OA 与 BC 所成的角。解：，21645cos48 ACAO，2460cos68 ABAO ，24216)(ABACAOBCAO0)322(51 5824216|;cos BC
4、AOBCAOBCAOOA 与 BC 所成角为 5223arccos例 5，如图，异面直线 a,b 所成角为 ，AB 是公垂线段，AB=d，C，D 分别在 a,b 上，且在 AB 同一侧，若 AC=m，BD=n，求 CD 的长。解： 22)(BDABCACDBDCABDABABCABDABCA222222AB 是 a,b 的公垂线，BDABCAAB,易知的夹角为 ，=m.ncosBDAC与BDACBDCA=m2+d2+n2+0+0+2（- m.ncos）2CDcos22222mndnmCD想一想；若 C、D 不在 A、B 同一侧，则 CD 等于多少？）例 6，如图，平行六面体 ABCD-A1B1
5、C1D1底面是菱形，C1CB=C1CD=BCD=（ 为锐角），（1）求证：C1CBD。（2）当的值为多少时，A1C面 C1BD，请予证明。1CCCD证明（1）,cos|11CBCCCBCCQ,cos|11CDCCCDCC又CDCCCBCCCDCB11|,|QBDCCDBCCCDCBCC111, 0)(即（2）设cCCbCBaCD1,则caDCcbaCA11,DCCABDCCA1111, 面Q0)()()(22cabcacacba即0cos|cos|22cbcaca即0)cos|(|)|(|bcaca|0cos|cabcaQ时符合题意。1|,|11CCCDCCCD四、课堂训练： 五、小结： 六、作业：
