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1、保护原创权益 净化网络环境第七章第七章 第七节第七节 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 理理 课下练兵场课下练兵场命命 题题 报报 告告难度及题号难度及题号知识点知识点容易题容易题(题号题号)中等题中等题(题号题号)稍难题稍难题(题号题号)利用空间向量证明利用空间向量证明平行、垂直问题平行、垂直问题111利用空间向量求异面利用空间向量求异面直线所成角、线面角直线所成角、线面角.2、34、6、78利用空间向量求二面角利用空间向量求二面角510、129一、选择题一、选择题1若直线若直线 l 的方向向量为的方向向量为 a，平面，平面 的法向量为的法向量为 n，能使，能使 l 的是的是 ( )
2、Aa(1,0,0)，n(2,0,0) Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1) Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：解析：若若 l， ，则则 an0.而而 A 中中 an2， ，B 中中 an156， ，C 中中 an1，只有，只有 D 选项选项中中 an330.答案：答案：D2若向量若向量 a(1，2)，b(2，1,2)，且，且 a 与与 b 的夹角余弦值为的夹角余弦值为 ，则，则 等于等于( )89A2 B2 C2 或或 D2 或或255255解析：解析：cos a， ，b ， ，2 或或.ab|a|b|63 2589255答案：答案：C3在正方体在正
3、方体 ABCDA1B1C1D1中，中，M 为为 DD1的中点，的中点，O 为底面为底面 ABCD 的中心，的中心，P 为棱为棱A1B1上任意一点，则直线上任意一点，则直线 OP 与直线与直线 AM 所成的角是所成的角是 ( )A. B. C. D.6432解析：解析：(特殊位置法特殊位置法)将将 P 点取点取为为 A1，作，作 OEAD 于于 E， ，连连接接 A1E， ，则则 A1E 为为 OA1在平在平面面 AD1内的射影，又内的射影，又 AMA1E， ，AMOA1，即，即 AM 与与 OP 成成 90角或建系利用向量角或建系利用向量保护原创权益 净化网络环境法法答案：答案：D4(2009
4、全国卷全国卷)已知正四棱柱已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，中，AA12AB，E 为为 AA1中点，则中点，则异面直线异面直线 BE 与与 CD1所成角的余弦值为所成角的余弦值为 ( )A. B. C. D.1010153 101035解析：如图连结解析：如图连结 A1B，则有，则有 A1BCD1，A1BE 就是异面直线就是异面直线 BE 与与 CD1所成角，设所成角，设 AB=1，则则 A1E=AE=1，BE=，A1B=.22由余弦定理可知：由余弦定理可知：cosA1BE=2513 10.102 25 答案：答案：C5(2009滨州模拟滨州模拟)在正方体在正方体 ABCDA1B1C1
5、D1中，点中，点 E 为为 BB1的中点，则平面的中点，则平面 A1ED 与与平面平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为所成的锐二面角的余弦值为 ( )A. B. C. D.12233322解析：以解析：以 A 为原点建系，设棱长为为原点建系，设棱长为 1.则则 A1(0,0,1)，E(1,0， )，12D(0,1,0)，(0,1，1)， ， 1A Du uu uu uu u r r(1,0， )， ，1A Eu uu uu uu u r r12设设平面平面 A1ED 的法向量的法向量为为n1(1， ，y， ，z)则则Error!Error!Error!Error!n1(1,2,2)， ，平
6、面平面 ABCD 的一个法向量的一个法向量为为 n2(0,0,1) cos n1， ，n2 .23 123即所成的即所成的锐锐二面角的余弦二面角的余弦值为值为 .23答案：答案：B6(2009浙江高考浙江高考)在三棱柱在三棱柱 ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是是保护原创权益 净化网络环境侧面侧面 BB1C1C 的中心，则的中心，则 AD 与平面与平面 BB1C1C 所成角的大小是所成角的大小是 ( )A30 B45 C60 D90解析：如图，取解析：如图，取 BC 中点中点 E，连结，连结 DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱
7、，易得，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE平面平面 BB1C1C，故，故ADE 为为 AD 与平面与平面 BB1C1C 所成的角所成的角设设各棱各棱长为长为 1， ，则则 AE， ，32DE ， ，tanADE， ，12AEDE32123ADE60.答案：答案：C二、填空题二、填空题7长方体长方体 ABCDA1B1C1D1中，中，ABAA12，AD1，E 为为 CC1的中点，则异面直线的中点，则异面直线BC1与与 AE 所成角的余弦值为所成角的余弦值为_解析：解析：建立坐建立坐标标系如系如图图， ，则则 A(1,0,0)， ，E(0,2,1)， ，B(1,2,0)， ，C1(0,2,2)， ，
8、 (1,0,2)， ，(1,2,1)， ，1BCu uu uu uu u r r1AEu uu uu uu u r rcos .1BCAEu uu uu uu u r r u uu uu u r r g g11BCAEBCAEu uu uu uu u r r u uu uu u r r g gu uu uu uu u r r u uu uu u r r3010答案：答案：30 108正四棱锥正四棱锥 SABCD 中，中，O 为顶点在底面上的射影，为顶点在底面上的射影，P 为侧棱为侧棱 SD 的中点，且的中点，且SOOD，则直线，则直线 BC 与平面与平面 PAC 所成的角是所成的角是_解析：如
9、图，以解析：如图，以 O 为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系 O-xyz.保护原创权益 净化网络环境设设 OD=SO=OA=OB=OC=a，则则 A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(-a,0,0)，P(0，)，2,2a a则则(2a,0,0)， ，(a， ， ， )， ，(a， ，a,0)， ，CAu uu u u u r r APu uu uu u r ra2a2CBu uu u u u r r设设平面平面 PAC 的法向量的法向量为为 n，可求得，可求得 n(0,1,1)， ，则则 cos ， ，n ， ，CBu uu u u u r rCB nCB nu uu u u
10、u r r g gu uu u u u r r g ga2a2 212 ， ，n 60， ，CBu uu u u u r r直直线线 BC 与平面与平面 PAC 所成的角所成的角为为 906030.答案：答案：309正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 23，则这个三棱锥的侧面和底面所成二，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为面角的度数为_解析：解析：设设一个一个侧侧面面面面积为积为 S1，底面面，底面面积为积为 S， ，则这则这个个侧侧面在底面上射影的面面在底面上射影的面积为积为 ，由，由题题S3设设得得 ， ，设侧设侧面与底面所成二面角面与底面
11、所成二面角为为 ， ，则则 cos ， ，S1S2313SS1S3S11260.答案：答案：60三、解答题三、解答题10(2009包头模拟包头模拟)如图，四棱锥如图，四棱锥 PABCD 的底面是矩形，侧面的底面是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且是正三角形，且侧面侧面 PAD底面底面 ABCD，E 为侧棱为侧棱 PD 的中点的中点(1)求证：求证：PB平面平面 EAC；(2)若若 ADAB，试求二面角，试求二面角 APCD 的正切值的正切值解：法一：解：法一：(1)证明：连接证明：连接 BD 交交 AC 于点于点 O，连接，连接 OE，在，在PDB 中，中，OEPB，又，又OE平面平面 AEC
12、，PB 平面平面 AEC，故，故 PB平面平面 AEC.保护原创权益 净化网络环境(2)设设 AD=AB=PD=PA=a，侧面侧面 PAD底面底面 ABCD，又又 CDAD，CD侧面侧面 PAD，AEDC，又又PAD 为正三角形，且为正三角形，且 E 为为 PD 中点，中点，AEPD，故，故 AE平面平面 PDC在等腰在等腰PDC 中，作中，作 DMPC，则，则 M 为为 PC 的中点，的中点，再作再作 ENDM 交交 PC 于点于点 N，则，则 ENPC，连接，连接 AN，则则ANE 为二面角为二面角 A-PC-D 的平面角，的平面角，在在 RtPDC 中，中，DM=a，所以，所以 EN=a
13、，2 22 4在等边在等边PAD 中，中，AE=a，所以，所以 tanANE=3 26.AE EN 法二：法二：(1)证明：如图建立空间直角坐标系证明：如图建立空间直角坐标系 O-xyz，其中，其中 O 为为 AD 的中点设的中点设PA=AD=PD=a，AB=b，则则 P(0,0， ，a)， ，D( ， ，0,0)， ，E( ， ，0， ，a)， ，B( ， ，b,0)， ，32a2a434a2连连接接 BD 交交 AC 于点于点 F， ，则则 F(0， ， ，0) b2( ， ，a)， ，( ， ，b，a)2， ，EFu uu uu u r ra4b234PBu uu uu u r ra232EFu uu uu u r r，又，又 EF平面平面 AEC，且，且 PB 平面平面 AEC， ，EFu uu uu u r r PBu uu uu u r rPB平面平面 EAC.(2)设设 PAADPDABa， ，则则 P(0,0， ，a)， ，A ( ， ，0,0)， ，C( ， ，a,0)， ，D( ， ，0,0) 32a
