《高中数学三角函数常见习题类型及解法[1]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学三角函数常见习题类型及解法[1]（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、94方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。2 2（3）降次与升次。 （4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在22ba 象限由 a、b 的符号确定，角的值由 tan=确定。ab例 1已知，求（1）；（2）2tan sincossincos 的值.22cos2cos.sinsin解：（1）；2232121 ta
2、n1tan1cossin1cossin1sincossincos (2) 2222 22 cossincos2cossinsincos2cossinsin.324 122221cossin2cossin cossin2222 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） ，进行弦、 切互化，就会使解题过程简化。例 2求函数的值域。21 sincos(sincos )yxxxx 解：设，则原函数可化为sincos2sin()224txxx ，因为，所以22131()24yttt 22t ，当时，当时，2t max32y1 2t min3 4y所以，函数的值域为。3324y，例 3
3、已知函数。2( )4sin2sin22f xxxxR，95（1）求的最小正周期、的最大值及此时 x 的集合；( )f x( )f x（2）证明：函数的图像关于直线对称。( )f x8x 解： 22( )4sin2sin222sin2(1 2sin)f xxxxx2sin22cos22 2sin(2)4xxx(1)所以的最小正周期，因为，( )f xTxR所以，当，即时，最大值为；2242xk3 8xk( )f x2 2(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，( )f x8x xR有成立，()()88fxfx因为，()2 2sin2()2 2sin(2 )2 2cos28842
4、fxxxx ，()2 2sin2()2 2sin(2 )2 2cos28842fxxxx 所以成立，从而函数的图像关于直线对称。()()88fxfx( )f x8x 例 4 已知函数 y=cos2x+sinxcosx+1 （xR）,21 23（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合； （2）该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ 21 23 41+（2sinxcosx）+141 43=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+41 43 45 21 6
5、6 45=sin(2x+)+21 6 45所以 y 取最大值时，只需 2x+=+2k,（kZ） ，即 x=+k,（kZ） 。6 2 696所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为x|x=+k,kZ6（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i）把函数 y=sinx 的图像向左平移，得到函数 y=sin(x+)的图像；6 6（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，得到函21数 y=sin(2x+)的图像；6（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变） ，得到21函数 y=sin(2x+)的图像； 21 6（iv）把得到的图像向上平移个单位长
6、度，得到函数 y=sin(2x+)+的45 21 6 45图像。综上得到 y=cos2x+sinxcosx+1 的图像。21 23这类题一般有两种解法：一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成 y=sin (x+)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。22ba 本题（1）还可以解法如下：当 cosx=0 时，y=1；当 cosx0 时，y=+1=+1xxxxx222cossincossin23cos21xx2tan1tan23 21化简得：2(y1)tan2xtanx+2y3=03tanxR，=38(y1)(2y3) 0,解之得：y43 47ymax=，此时对应自
7、变量 x 的值集为x|x=k+,kZ47 6例 5已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf（）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；)sin(xA（）如果ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x，试求 x 的 范围及此时函数f(x)的值域.解： 23)332sin(23 32cos23 32sin21)32cos1 (23 32sin21)(xxxxxxf（）由=0 即)332sin(xzkkxzkkx 213)(332得97即对称中心的横坐标为zkk，213（）由已知 b2=ac，231)332sin(31)332sin(3sin|295|23|95 332 3301cos2121 22 22cos22222xxxxxacacac acacca acbcaxQ即的值域为.)(xf231 , 3(综上所述， ， 值域为 . 3, 0(x)(xf231 , 3(
