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1、6.4 数列求和数列求和2014 高考会这样考 1.考查等差、等比数列的求和；2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧；3.综合考查数列和集合、函数、不等式、解析几何、概率等知识的综合问题复习备考要这样做 1.灵活掌握数列由递推式求通项公式的几种方法；2.掌握必要的化归方法与求和技巧，根据数列通项的结构特点，巧妙解决数列求和的问题1等差数列前 n 项和 Snna1d，推导方法：倒序相加法；na1an2nn12等比数列前 n 项和 SnError!推导方法：乘公比，错位相减法2数列求和的常用方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式
2、分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(4)倒序相加：例如，等差数列前 n 项和公式的推导(5)并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.3常见的拆项公式(1) ；1nn11n1n1(2)；12n12n112(12n112n1)(3).1n n1n1n难点正本 疑点清源1解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数
3、列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和2等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决1在等差数列an中，Sn表示前 n 项和，a2a818a5，则 S9_.答案 54解析 由等差数列的性质，a2a818a5，来源:Zxxk.Com即 2a518a5，a56，S99a554.a1a9 922等比数列an的公比 q ，a81，则 S8_.12答案 255解析 由 a81，q 得 a127，12S8281255.a11q81q27112
4、81123若 Sn1234(1)n1n，则 S50_.答案 25解析 S5012344950(1)2525.4(2011天津)已知an为等差数列，其公差为2，且 a7是 a3与 a9的等比中项，Sn为an的前 n 项和，nN*，则 S10的值为 ( )A110 B90 C90 D110答案 D解析 a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是 a3与a9的等比中项，(a112)2(a14)(a116)，解得 a120.S101020 109(2)110.125(2012大纲全国)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a55，S515，则数列的前 100 项和为 1
5、anan1( )A. B. C. D.1001019910199100101100答案 A解析 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.a55，S515，Error!Error!ana1(n1)dn. ，1anan11nn11n1n1数列的前 100 项和为 1 1.1anan1121213110011011101100101题型一 分组转化求和例 1 已知数列xn的首项 x13，通项 xn2npnq (nN*，p，q 为常数)，且 x1，x4，x5成等差数列求：(1)p，q 的值；(2)数列xn前 n 项和 Sn的公式思维启迪：第(1)问由已知条件列出关于 p、q 的方程组求解；第(2)问
6、分组后用等差、等比数列的求和公式求解解 (1)由 x13，得 2pq3，又因为 x424p4q，x525p5q，且 x1x52x4，得325p5q25p8q，解得 p1，q1.(2)由(1)，知 xn2nn，所以 Sn(2222n)(12n)2n12.nn12探究提高 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论求和 Sn1.(112) (11214)(1121412n1)解 和式中第 k 项为ak1 2.121412k11(12)k112(112k)S
7、n2(112)(1122)(112n)2(111( )n个1212212n22n2.(n12(112n)112)12n1题型二 错位相减法求和例 2 设数列an满足 a13a232a33n1an ，nN*.n3(1)求数列an的通项；(2)设 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn.nan思维启迪：(1)由已知写出前 n1 项之和，两式相减(2)bnn3n的特点是数列n与3n之积，可用错位相减法来源:学科网 ZXXK解 (1)a13a232a33n1an ，n3当 n2 时，a13a232a33n2an1，n13得 3n1an ，an.1313n在中，令 n1，得 a1 ，适合 an，an.13
8、13n13n(2)bn，bnn3n.nanSn3232333n3n，3Sn32233334n3n1.得 2Snn3n1(332333n)，即 2Snn3n1，Sn .313n132n13n1434探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列3n1an的前 n 项和，从而利用 an与 Sn的关系求出通项 3n1an，进而求得 an；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养(2011辽宁)已知等差数列an满足 a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前 n 项和来源:学#科#
9、网an2n1解 (1)设等差数列an的公差为 d，由已知条件可得Error!解得Error!.故数列an的通项公式为 an2n.(2)设数列的前 n 项和为 Sn，an2n1即 Sna1，a22an2n1故 S11，.Sn2a12a24an2n所以，当 n1 时，得a1Sn2a2a12anan12n1an2n1( )121412n12n2n1(1).12n12n2nn2n所以 Sn.当 n1 时也成立n2n1综上，数列的前 n 项和 Sn.an2n1n2n1题型三 裂项相消法求和例 3 在数列an中，a11，当 n2 时，其前 n 项和 Sn满足 S an.2 n(Sn12)(1)求 Sn的表
10、达式；(2)设 bn，求bn的前 n 项和 Tn.Sn2n1思维启迪：第(1)问利用 anSnSn1 (n2)后，再同除 Sn1Sn转化为的等差数列即1Sn可求 Sn.第(2)问求出bn的通项公式，用裂项相消求和解 (1)S an，2 n(Sn12)anSnSn1 (n2)，S (SnSn1)，2 n(Sn12)即 2Sn1SnSn1Sn，由题意 Sn1Sn0，式两边同除以 Sn1Sn，得2，1Sn1Sn1数列是首项为1，公差为 2 的等差数列1Sn1S11a112(n1)2n1，Sn.1Sn12n1(2)又 bnSn2n112n12n1，12(12n112n1)Tnb1b2bn (1 )(
11、)()1213131512n112n1.12(112n1)n2n1探究提高 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的已知数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Sn，nN*.anan12(1)求证：数列an是等差数列；(2)设 bn，Tnb1b2bn，求 Tn.12Sn(1)证明 Sn，nN*，anan12当 n1 时，a1S1 (an0)，a11.a1a112当 n2 时，由Error!得 2ana anaan1.2 n2n1即(anan 1)(anan11)0，a
12、nan10，anan11(n2)所以数列an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列(2)解 由(1)可得 ann，Sn，nn12bn .12Sn1nn11n1n1Tnb1b2b3bn1 1212131n1n11.1n1nn1四审结构定方案来源:学科网 ZXXK典例：(12 分)已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前 n 项和为 Sn.(1)求 an及 Sn；(2)令 bn(nN*)，求数列bn的前 n 项和 Tn.1a2 n1等差数列an中，特定项的值(a3，a5，a7即为特定项)a37，a5a726(从特定项，考虑基本量 a1，d)来源:学科网列方程组Error!(根据条件的结
13、构特征，确定了方程的方法)用公式：ana1(n1)d，Snna1d.nn12(将 an代入化简求 bn)bn14nn1(根据 bn的结构特征，确定裂项相消)bn14(1n1n1)Tn14(112)(1213)(1n1n1).14(11n1)n4n1规范解答解 (1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.因为 a37，a5a726，所以Error! 解得Error!4 分所以 an32(n1)2n1，Sn3n2n22n.6 分nn12(2)由(1)知 an2n1，所以 bn 1a2 n112n121141nn1 ，8 分14(1n1n1)所以 Tn (1 )10 分141212131n1n1 (1)，141n1n4n1即数列bn的前 n 项和 Tn.12 分n4n1温馨提醒 本题审题的关键有两个环节一是根据 a37，a5a726 的特征，确
