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1、函数零点问题的解题方法函数零点问题的解题方法赵娜 03211087（包头师范学院 数学与应用数学）摘摘 要要 本文着重介绍介值定理，罗尔定理，拉格朗日定理，费马原理在解决函数零点问题中的应用，以及做辅助函数证明根的存在性.关键词关键词 根，介值定理，罗尔定理，拉格朗日定理，辅助函数，费马原理根，介值定理，罗尔定理，拉格朗日定理，辅助函数，费马原理0. 前言前言在数学分析中, 函数零点问题或方程求实根问题是一重要且常见的类型题，类型一是讨论函数零点，主要涉及连续函数的介值定理，但是为了创造介值定理的条件，又需要运用拉格朗日定理与罗尔定理；类型二是讨论函数的一阶导数的零点问题，主要涉及罗尔定理，但
2、在许多时候需要构造适当的辅助函数.下面介绍解决问题的思想.1. 介值定理在方程求根中的应用介值定理在方程求根中的应用介值定理：介值定理：闭区间上的连续函数可以取其最小值和最大值之间的一切ba,)(xf值，即：设在上的最小值是,最大值是，那么，对任)(xfba,mM何 ：， 在区间内至少存有一个，使得cMcmba,cf)(零点存在定理：零点存在定理：若在区间连续，与异号，那么在区间)(xfba,)(af)(bf内至少存在一点，使得.ba,0)(f一般情况下，运用介值定理来解决方程求根问题其实也可以通过作辅助函数运用零点存在定理来解决.例题例题 1：讨论方程的根的情况Rxaxx,cossin2方法
3、一：令，将其变形为, 显然，xxxFcossin2)()sin(55)(xxF在整个定义域内连续，其最大值为，最小值为，所以，当)(xF55 55a时，根据介值定理，至少存在一点，使得；当 55,55aF)(时，该方程无根. 55,55a该方法既是直接运用介值定理来求方程根.方法二则是借助辅助函数运用零点定理来求，如下： 做辅助函数，将原函数变形为：axxxFcossin2)(，即此题转化为求得根. 因为，axxF)sin(55)(0)(xF的最大值为，最小值为，所以，当时，根)sin(55x55 55a 55,55据零点定理，在定义域内一定存在一点，使得；当时，0)(F 55,55a，即方程
4、无根.0)(xF例题例题 2 2：证明：若函数在区间连续，且)(xfba,baxxxn,21L，则在内至少存在一点,使得nittttin, 2 , 1, 0, 121LLba,)()()()(2211nnxftxftxftfL证明：证明： 若，则结论显然成立)()()(21nxfxfxfL若不全相等，设)(,),(),(21nxfxfxfL，)()(,),(),(max21knxfxfxfxfL不妨设，显然在区间连续，又有kjxx )(xfkjxx ,)(jxf)()()(2211nnxftxftxftL)(kxf根据介值定理，使baxxkj,)()()()(2211nnxftxftxftfL
5、2拉格朗日定理以及与介值定理在解决零点问题的综合运用拉格朗日定理以及与介值定理在解决零点问题的综合运用拉格朗日中值定理（定理拉格朗日中值定理（定理 3 3）：设函数满足条件f（1）在闭区间上连续， （2）在开区间内可导，fba,fba,则在内至少存在一点,使得：ba, abafbff例如例如：设在0，1上可导，且，又对于（0，1）内的所有点)(xf1)(0xf有，证明方程在（0，1）内有唯一实根.x1)( xf01)( xxf证明证明：先证存在性令， 则在0，1上可导.1)()(xxfx)(x因为，所以， 1)(0xf01)0()0( f0) 1 () 1 ( f由介值定理，在（0，1）内至少
6、有一个零点，)(x即方程在（0，1）内至少有一个实根.01)( xxf再证唯一性 用反证法，设方程在（0，1）内有两个实根，不妨设01)( xxf21,xx，有 ，1021xx111)(xxf221)(xxf对在上应用拉格朗日中值定理，有，使)(xf21,xx21,xx1)1 (1)()()(12121212xxxx xxxfxff这与假设矛盾，唯一性得证.1)(xf3罗尔定理在解决零点问题中的应用罗尔定理在解决零点问题中的应用罗尔定理：罗尔定理：若函数在闭区间上连续, 在开区间内可导, 且)(xfba,ba,则在),()(bfaf. 0)(),(fba，使得内至少存在一点罗尔定理是拉格朗日定
7、理的特殊情形，即的情形)()(bfaf例：设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,则在 xhxgxf,ba,ba,ba,内至少存在一点,使得： 0 hgfbhbgbfahagaf证证 作辅助函数 xhxgxfbhbgbfahagafx 则在上连续,在内可导，且，故由罗尔定理知，至少 xba,ba, 0ba存在一点，使得，即ba, 0 0 hgfbhbgbfahagaf当时，就可得到柯西中值定理； 1xh当，又可得到拉格朗日中值定理. xxgxh , 1假如我们把罗尔中值定理也作为一般定理的特殊情形，此题又可以这样证明另证另证：因为在上连续，则在上必有最大最小值.因为 xba, xba,， ba所
8、以最大最小值至少有一个在内的某一点处取得，因为在内每一ba, xba,点可导，所以在处可导.因为是最大值（最小值也一样） ，所以也是 x 极大值.由于在处可导，由极值存在的必要条件知，即 x 0 0 hgfbhbgbfahagaf例题：例题：证明方程在 0 与 1 之间至少有一个实根01454 xx证明：证明：不难发现方程左边是函数的导数： 即1454 xxxxxxf252)(145)(4xxxf函数在0，1上连续，在(0,1)内可导，且xxxxf252)(，由罗尔定理可知，在 0 与 1 之间至少有一点 c，使，即0) 1 ()0( ff0)(cf01454 xx也就是：方程在 0 与 1
9、之间至少有一个实数根.01454 xx4 4根据具体情况构造辅助函数，结合罗尔定理证明零点问题根据具体情况构造辅助函数，结合罗尔定理证明零点问题例题：例题： 证明：若，是常数，则方程013221 0nccccnL0c1c,Lnc02 210n nxcxcxccL在（0，1）内至少有一个实根。证证：构造函数13221 0132)( nnxncxcxcxcxfL当时，有. 0x0)0(f当时，有.1x0132) 1 (21 0nccccfnL根据罗尔定理，使1 , 0c，0)(2 210n nccccccccfL即方程在（0，1）内至少有一个实根.02 210n nxcxcxccL5 5用费马原理
10、证明导数零点存在用费马原理证明导数零点存在费马原理费马原理（可导函数取得极值的必要条件）如果可导函数在点达到极值，则必有，因此，如果能够)(xf0x0)(0xf证明某个函数在区间中达到极值，就可以作出在区间中有零点，这)(xf)(xf也是证明罗尔定理的方法.例例：设函数在闭区间上可导，且，则导函数在)(xfba,)()(bfaf)(xf内取与之间的任意值.ba,)(af)(bf证明：证明：为确定起见，不妨设，对于任给的，来证)()(bfaf)(, )(bfafr 明，使ba,rf)(令，则，因此,有rxxfxg)()()(0)(bgag0)()(lim)()( axagxgagag oax故，
11、使，同理：，使得)2,(1baax)()(1agxg),2(2bbax. )()(2bgxg又考虑到在上连续，故存在点，使为在上的)(xgba,),(ba)(g)(xgba,最小值，因而也是一个极小值.)(g由费马引理得：，即0)(grf)(此题既是费马引理求函数零点问题的一个应用，也是证明达布定理的一个方法.参考文献：参考文献：高等教育出版社 陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中编数学分析 1高等教育出版社 刘玉琏，刘伟，刘宁，林玎编数学分析讲义练习题选 2讲高等教育出版社 刘玉琏，傅沛任，刘宁，林玎编数学分析讲义3高教版 林益，邵琨，罗德斌，俞小清编数学分析习题详解 4科学出版社 吴良森，毛羽辉，安国栋，魏木生编数学分析习题精解 5科学出版社 R柯朗，F约翰著微积分和数学分析引论 6陕西师范大学出版社 赵显才，黄显安编数学分析的方法与题解 7
