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1、1第第 1 1 章章 随机事件及其概率随机事件及其概率（1）排列组合公式从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(! nmmPn m从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。)!( ! nmnmCn m（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：加法原理（两种方法均能完成此事）：m+nm+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mnmn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由
2、 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（6）事件的关系与运算运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)德摩根率：UI11iiiiAA，BABAIUBABAUI（7）概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三 个条件： 1 0P(A)1， 2 P() =13 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11)(iiiiAPAPU常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件A的概率。（8）古典概型1 ，nL21,2 。nPPPn1)()()(21L设任一事
3、件A，它是由组成的，则有mL21,P(A)= =)()()(21mULUU)()()(21mPPPLnm基本事件总数所包含的基本事件数A（9）几何概型。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。)()()(LALAP（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A= 时，P()=1- P(B)B2（12）条件概率定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称为事件 A 发生条件下，事件 B 发生)()( APABP的条件概
4、率，记为。)/(ABP)()( APABP条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)B（13）乘法公式乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn )1nA。（14）独立性两个事件的独立性两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()( )()()|(BPAPBPAP APABPABP若事件A、
5、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。 与任何事件都互斥。多个事件的独立性多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式设事件nBBB,21L满足1nBBB,21L两两互不相容，), 2 , 1(0)(niBPiL，2UniiBA1 ， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBA
6、PBPAPL。（16）贝叶斯公式设事件1B，2B，nB及A满足1 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2 UniiBA1 ，0)(AP， 则，i=1，2，n。 njjjii i BAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(此公式即为贝叶斯公式。， （1i，2，n） ，通常叫先验概率。， （1i，2，)(iBP)/(ABPin） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。3（17）伯努利概型我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，
7、即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不 影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk, 2 , 1 , 0L。4第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的 概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。LLLL ,|)(2121kkkpp
8、pxxx xXPX 显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，L, 2 , 1k， （2）11kkp 。（2）连续型随机变量的分布密度设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有 xdxxfxF)()(， 则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 0)(xf。2 1)(dxxf。（3）离散与连续型随机变量的关系dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机dxxf)(变量理论中所起的作用相类似。5（4）分布函数设为随机变量，是任意实数，则
9、函数Xx )()(xXPxF称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到 X 落入区间的概率。分布函数)()()(aFbFbXaP,(ba表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。)(xF分布函数具有如下性质：1 ；, 1)(0xFx2 是单调不减的函数，即时，有 ；)(xF21xx )(1xF)(2xF3 ， ；0)(lim)( xFF x1)(lim)( xFF x4 ，即是右连续的；)()0(xFxF)(xF5 。)0()()(xFxFxXP对于离散型随机变量，； xxkkpxF)(对于连续型随机变量， 。 x dxxfxF)()(（5）八大分布0-1 分布P(X=1)=p,
10、 P(X=0)=q6二项分布在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数nApA是随机变量，设为，则可能取值为。XXn, 2 , 1 , 0L， 其中knkk nnqpCkPkXP)()(，nkppq, 2 , 1 , 0, 10 ,1L则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。Xnp),(pnBX当时，这就是（0-1）分布，1nkkqpkXP1)(1 . 0k所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为X，ekkXPk!)(0L2 , 1 , 0k则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者 P(X)(X)。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n） 。7均匀分布设
11、随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数，即ab 1其他， , 0,1 )(abxf则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。 分布函数为xdxxfxF)()(当 ax1b。axb)(xf,xe0x,0, 0x,)(xF,1xe0x, , 0xx1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即 );0,(),(), 0(),(yxFyxFyxFyxF（4）. 1),(, 0),(),(),(FxFyFF（5）对于，2121yyxx.0)()()()(1121
12、1222yxFyxFyxFyxF，（4）离散型与连续型的关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，离散型X 的边缘分布为；), 2 , 1,()(LjipxXPPij jiiY 的边缘分布为。), 2 , 1,()(LjipyYPPij ijj（5）边缘分布连续型X 的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y 的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY（6）条件分布离散型在已知X=xi的条件下，Y 取值的条件分布为；iij ijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下，X 取值的条件分布为,)|(jij jippyYxXP12连续型在已知 Y=y 的条件下，X 的
13、条件分布密度为；)(),()|(yfyxfyxfY在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 jiijppp有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布, 121),(2222121211 221)(2)1(212 yyxxeyxf0（7）独立性随机变量的函数若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立， h,g 为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和 g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。例
14、如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。13（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其他, 0),(1),(DyxS yxfD其中 SD为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D） 。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y1D1O 1 x图 3.1y1O 2 x图 3.2ydcO a b x图 3.3D21D314（9）二维正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为, 121),(2222121211 221)(2)1 (212 yyxxeyxf其中是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，1| , 0, 0,21, 21记为（X，Y）N（).,2 22 1, 21由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（).(),2 2, 22 11NY但是若 XN（，(X，Y)未必是二维正态分布。)(),2 2, 22 11NYZ=X+Y根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ对于连续型，f
