约束问题与临界值

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1、高中物理解高中物理解题题方法方法约约束束问题问题与与临临界界值值约约束束问题问题与与临临界界值值现行高中物理教材的各种版本中，都未曾提及约束问题。然而，有关约束问题的习题却不少，就是在高考中也常出现这类题型。至于中学物理竞赛试题中更是屡见不鲜，并常以拔高题出现。下面拟就中学物理中有关约束问题，作一浅析。1.有关有关约约束束问题问题的基本概念的基本概念如果某一物体被限制在某一曲面或曲线上运动，我们就说该物体的运动受到约束。那么该曲线或曲面就称为约束。例如：图 1 中单摆小球被限制在圆弧上运动；图 2 中物体 m 沿（光滑或粗糙的）斜面下滑，物体 m 被限制在斜面上运动；图 3 中导体 ab 被限

2、制在导电滑轨 MN 上运动等等，都属于约束问题。图 1 中的摆线，图 2 中的斜面，图 3 中的滑轨等都叫约束。由此可以看出，约束既是实在的物体，又是某些物体对别的物体运动限制作用的抽象。约束的分类随依据不同而异。按约束随时间改变与否，可分为稳定约束与不稳定约束。例如：图 2 中，如果斜面体是固定的，则称为稳定约束，如果斜面体是放在光滑的水平面上，当 m 下滑时，斜面体本身也作加速运动，则称为不稳定约束。按其约高中物理解高中物理解题题方法方法约约束束问题问题与与临临界界值值束的方向来分，可分为单向约束和多向约束。如图 1 中，小球每时刻都只在沿绳伸长的方向受限制，则称为单向约束；图 4 中，带

3、电小圆环沿绝缘杆在电磁场中下滑时，除沿杆的方向以外，其他方向都受到限制，称为多向约束。从约束的光滑情况来分，又可分为光滑约束和有摩擦约束。力学中把约束对物体的作用力，称为约束反力。例如：图 1 中绳子对小球的拉力；图 2 中斜面对物体的支持力等等都叫做约束反力。由上述定义可以看出，约束反力是因其起源和作用而得名，在含意上有其狭义的规定性，就性质而言都属于弹力，且都是约束对研究物体的作用力。2.约约束反力的求解束反力的求解约束反力的大小及其变化情况，往往不能预先知道，也不是都能由平衡条件计算出来的，而需要根据物体的运动被限制在约束上这一条件，运用牛顿运动定律列方程求解。【 【例例 1】 】一一质

4、质量量为为 m 的小球，与的小球，与长为长为 l 的的细绳组细绳组成一成一单摆单摆。 。现现将此将此单摆单摆拉到与拉到与竖竖直直线线成成 角的位置，由静止角的位置，由静止释释放，在放，在摆动摆动途途中，中，摆绳摆绳被一被一钉钉子子 A 所阻，所阻，钉钉子与子与摆摆的的悬悬挂点挂点 O 相距相距 r，两者，两者连线连线与与竖竖直直线线成成 角。如角。如图图 5 所示。所示。试试求：求：摆绳为钉子所阻后，绳子张力的表达式。小球在继续上升的过程中，若摆绳发生弯曲，在此情况下，L、r、 之间的关系。 【 【解析解析】 】小球从开始摆动到摆绳发生弯曲之间，都属于单向约束问题。小球摆到图高中物理解高中物理

5、解题题方法方法约约束束问题问题与与临临界界值值示位置 B 时，是以钉子 A 为圆心的，以 Lr 为半径的圆周运动。设绳子对小球的约束反力为 T，AB 线与竖直夹角为 ，由机械能守恒定律得：21 2BmgLcosmg rcosLr cosmv 由牛顿运动定律得此时法向方向方程：2 BvTmgcosmLr式联立解得：23mgTmgcosrcosLcosLr若绳子发生弯曲，则 T=0，意味着约束解除，由此条件求得： 2 3rcosLcoscosLr而 只有在时，绳子才有可能弯曲，故而 1cos0，2即： 2103rcosLcos Lr 由此得出的 L，r， 应满足的条件为：3(Lr)2(rcosLc

6、os)0即： 302LrrcosLcos3.双向双向约约束束问题问题中中约约束反力的束反力的转换转换如果约束从两侧限制物体的运动，则约束反力的方向是可能发生改变的，这一点可以通过下面的例子看出。【 【例例 2】 】用用细线细线把把质质量量为为 M 的大的大圆环圆环挂起来，挂起来，环环上套有两个上套有两个质质量均量均为为 m 的小的小环环，它，它们们可以在大可以在大环环上无摩擦地滑上无摩擦地滑动动。若两小。若两小环环同同时时从大从大环顶环顶部由静止开始向两部由静止开始向两边边滑下，如滑下，如图图 6 所示。所示。试证试证明：如果明：如果， ，则则大大环环会升起来。并求大会升起来。并求大环环开始上

7、升开始上升时时小小环环位置位置 为为多少？多少？ 3 2mM【 【解析解析】 】高中物理解高中物理解题题方法方法约约束束问题问题与与临临界界值值此题中小环受到双向约束。设细线张力为 T，小环与大环间相互作用力为N（即约束反力），小球滑到位置 角时的速度为 v。则：对小环：2vmgcosNmR21 2mgR Lcosmv由式可解得约束反力：N=mg(3cos2)当时，N=0，此时约束瞬间解除。2 3cos若 角再增大，时，N0，说明约束力又复出现而且改变方向。2 3cos小环对大环的反作用力将可以提供向上的分力，从而可能使大环升起。对大环：T=Mg2Ncos当大环升起时，绳子张力 T=0，（绳对

8、大环的约束解除）T=Mg+2Ncos=Mg+2mg(3cos2)cos=06mcos24mcos+M=0241624113112332mmMmMcosm由数学知识可知，只有当时，上式为实数，cos 有解，此时小环的位3 2mM置用 角表示为：1131332Marccosm4.有摩擦力的有摩擦力的约约束中的区束中的区间问题间问题约束反力在约束（曲线或曲面）的垂直方向（法向），如果有摩擦存在，它却在约束的切线方向。因此在研究有摩擦的约束问题时，先要根据物体有几个可能的运动方向，确定相应的摩擦力的方向。最常见的情况是存在两种可能的运动方向，故而摩擦力的方向也就有两种可能取向。因此，在运用牛顿运动定律

9、列方程时，也将会出现两组，这就导致某些相关量参数有一变化区间。高中物理解高中物理解题题方法方法约约束束问题问题与与临临界界值值【 【例例 3】 】有一有一顶顶角角为为 60的的锥锥形容器，在距形容器，在距顶顶点点为为 L=1.0m处处有一有一质质量量 m=1.0kg 的小物体，的小物体，让让物体物体 m 与容器一起与容器一起绕绕通通过过点的点的竖竖直直轴线轴线作匀速作匀速转动转动（ （见图见图 7）。）。若 1=5rad/s，则摩擦因数 至少应为多大才能实现这一情况？若 2=8rad/s 时， 应为多大才能实现这一情况？【 【解析解析】 】先假设物体有向下滑动的趋势，则摩擦力将沿斜面向上，物体

10、受力如图 8 所示，沿圆周的切向和法向建立直角坐标系，则牛顿运动定律方程为：2N cosf sinmLsin N sinf cosmg 解得：Nmgsin+m2Lsincos=15.8（N）f=mgcosm2Lsin2 =2.41（N）f0，说明方向上与假设相符。0 161f.N由 f=mgcosm2m2Lsin2 可知：当 f = 0 时， 有一个临界角速度 0存在。由此得：mgcos=m2Lsin2025 89gcos.rad / sLsin即当 0时，有下滑的趋势，摩擦力向上；当 0时，有上滑趋势，摩擦力向下。2=8rad/s0，故 f 向下，受力如图 9 所示。牛顿运动定律方程：Nco

11、s+fsin=2mLsinNsin=mg+fcos解得： 227 34fmLsingcos.N 232 7NmLsincosmg sin.N2= 0 22f.N本题中，如果 是恒定的，则要使 m 在确定的高度与锥形容器一起作圆周运高中物理解高中物理解题题方法方法约约束束问题问题与与临临界界值值动，则角速度 必有一个变化范围，即当 0时，有下滑趋势，f 向上，相应建立牛顿运动方程求出 的最小值 max；当 0时，有上滑趋势，f 向下，相应建立牛顿运动方程，求出 的最大值 max，则 的变化范围是：minmax。5.单单向向约约束解除的可能性（束解除的可能性（临临界界值问题值问题） ）如果约束对物

12、体的限制是单侧的，即它只限制物体不得从某一侧脱离约束，但却允许物体从另一侧脱离，在这类约束中，约束反力也是单侧的。对于这种单侧约束，应当注意约束解除的可能性。如在例 1 中， 在 090的范围内是不会解除约束的，当其 角足够大，小球摆动，使 90，才可能向内作抛体运动，即约束解除有可能。如 =180，而小球仍没有离开圆周，则以后再也不可能离开圆周了。所以约束解除的范围只能在 90180。如果 角大到可以使小球能以 A 为圆心，Lr 为半径作圆周运动，则小球的单向约束将不能被解除。约束解除问题也称临界值问题。在具体问题中，何时解除约束，往往不能预先知道。为了找出约束解除的时刻（或位置）即临界值状

13、态，常用的方法是：先假定物体不脱离约束、将假设的约束反力代入牛顿运动方程中求解，解出约束反力的表达式后，令其约束反力等于零（这就意味着约束解除），由此可求出相应的时刻（或位置）。【 【例例 4】 】（ （83 年高考年高考题题）一个光滑的）一个光滑的圆锥圆锥体固定在水平桌面上，其体固定在水平桌面上，其轴线轴线沿沿竖竖直方直方向，母向，母线线与与轴线轴线之之间间的的夹夹角角为为 30（ （图图示示 10），一条），一条长长度度为为 L 的的绳绳（ （质质量不量不计计）一端）一端固定在固定在圆锥圆锥体的体的顶顶点点 A 处处，另一端系着一，另一端系着一质质量量为为 m 的小物体（小物体可看作的小物

14、体（小物体可看作质质点），物体以速度点），物体以速度 v 绕绕着着圆锥圆锥体的体的轴线轴线作水平匀速作水平匀速圆圆周运周运动动（物体和（物体和绳绳在附在附图图中都中都没画出）。求没画出）。求高中物理解高中物理解题题方法方法约约束束问题问题与与临临界界值值当时，绳对物体的拉力。1 6vgL当时，绳对物体的拉力。3 2vgL【 【解析解析】 】设，物体是贴着圆锥面做匀速圆周运动运动的，1 6vgL物体不仅受绳的力，而且同时受到锥面的力。受力如图 11 所示。沿圆周运动的法向和切向建立直角坐标系，根据牛顿运动定律的方程得：2 00 0303030vT sinN cosmLsinNsin30+Tcos

15、30=mg 解得：2 0 013033306mvNmg sinmgLsin011302 3166TmgcosmgmgN 为正值说明 N 的方向与假设相符合。当 N=0 时，斜面对物体的约束解除物体处于临界状态，设此时速度为 v0，那么：2 00 03030vT sinLsinTcos30=mg解得： 20 2 00301 302 3Lg sinvLgcos03 6vLg由于，实际此时物体已脱离锥面做圆锥摆运动。设绳与竖23 36LgLg直夹角为 ，受力如图 12 所示，那么： 2 2mvT sinLsinTcosmg高中物理解高中物理解题题方法方法约约束束问题问题与与临临界界值值解得：T=2mg = 45本题中，无