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1、3.1 随机变量的函数变换在随机试验E中，设样本空间为S=ei,对每一个试验结果ei，对应于X的某个取值X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei)与X(ei)有如下关系：显然，Y的概率特性与X是有关系的。第三讲 随机变量的函数与特征函数3.1.1 一维变换若随机变量X、Y满足下列函数关系如果X与Y之间的关系是单调的，并且 存在反函数，即若反函数h(Y)的导数也存在，则可利 用X的概率密度求出Y的概率密度。综合上述讨论，得到如果X和Y之间不是单调关系，即Y的取值 y可能对应X的两个或更多的值x1,x2, xn。假定一个y值有两个x值与之对应，则有一般地，如果y=g(x)有n个反函数 h1
2、(y), h2(y), hn(y)，则3.1.2 二维变换设二维随机变量(X1,X2)的联合概率密度f(x1, x2)，另有二维随机变量(Y1,Y2)，且求随机变量(Y1,Y2)的联合概率密度f(y1, y2) 。3.2 随机变量的特征函数3.2.1 特征函数的定义随机变量X的特征函数就是由X组成的 一个新的随机变量ejwX的数学期望，即离散随机变量和连续随机变量的特征 函数分别表示为随机变量X的第二特征函数定义为特 征函数的对数，即对二维随机变量，可用类似的方法定 义特征函数第二特征函数定义为特征函数作用可以简化各阶矩的运算可以简化一维随机变量函数的运算可以简化独立随机变量和的分布的计算3.
3、2.2 特征函数的性质性质1：性质2：若Y=aX+b，a和b为常数，Y的 特征函数为性质3：互相独立随机变量之和的特征 函数等于各随机变量特征函数之积， 即若则3.2.3 特征函数与矩函数的关系 矩函数与特征函数之间存在如下关系：3.2.4 特征函数与概率密度的关系由定义可知，特征函数与概率密度 函数有类似傅氏变换的关系略有不同，指数项差一符号3.3 常见分布3.3.1 常见的离散型分布 一. 两点分布如果随机变量X的分布为则称X服从两点分布，也称为贝努里分 布。当a、b分别为0、1时，称这种分 布为01分布。XPab1pp二. 二项分布设随机试验E只有两种可能的结果 且将E独立地重复n次，那
4、么在n次试验中事件A 发生m次的概率为称为二项分布。三.泊松分布设随机变量X的可能取值为0,1,2,且分布密度为则称X服从泊松分布。3.3.2 常见的连续分布 一. 均匀分布设连续型随机变量X在有限区间a,b 内取值，且其概率密度为则称X在区间a,b上服从均匀分布。随机变量X的分布函数为1)一维高斯分布高斯变量X的概率密度为：二. 高斯分布概率分布函数对高斯变量进行归一化处理后的 随机变量，称为归一化高斯变量。即 令 ，归一化后的概率密度为服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量X ，其特征函数为服从 的高斯变量Y，其特 征函数为（1）已知X为高斯变量，则Y=aX+b （a,b为常数）也为高斯变
5、量，且（2）独立高斯变量之和仍为高斯变量 。高斯变量特点：推广到多个互相独立的高斯变量，其 和也是高斯分布。即 若Xi服从 ，则其和的数学 期望和方差分别为若有大量相互独立的随机变量的和其中每个随机变量Xi对总的变量Y的影响足 够小时，则在一定条件下，当时，随机变量Y是服从正态分布的，而与每 个随机变量的分布律无关。结论：任何许多独立作用之和的物理过 程，都趋于高斯分布。（3）中心极限定理2）二维高斯分布设X是均值为 ，方差为 的正 态随机变量，Y是均值为 ，方差为 的正态随机变量，且X,Y的相关系 数为 ，则二维随机变量(X,Y)为一 个二维正态随机变量，其联合概率密 度函数为设n维随机变量
6、向量为Y，数学期望和 方差向量为m和s，它们具有如下形式 ：Y= m= s=协方差矩阵CC =则n维联合概率密度函数为三. 分布 1) 中心 分布若n个互相独立的高斯变量X1, X2, Xn的数学期望都为零，方差为1，它们 的平方和的分布是具有n个自由度的 分布。其概率密度为当互相独立的高斯变量Xi的方差不是1 ，而是 时，Y的概率密度为性质：两个互相独立的具有 分布 的随机变量之和仍为 分布，若它 们的自由度分别为n1和n2，其和的自 由度为n= n1+n2。2) 非中心 分布若互相独立的高斯变量 Xi(I=1,2,n)的方差为 ，数学期望 为 ，则为n个自由度的非中心 分布。其概率密度为称
7、为非中心分布参量性质：两个相互独立的非中心 分 布的随机变量之和仍为非中心 分布 ，若它们的自由度为n1和n2，非中心 分布参量分别为 和 ，其和的自由 度为n= n1+n2，非中心分布参量为四. 瑞利分布和莱斯分布1) 瑞利分布对于两个自由度的 分布，即Xi(I=1,2)是数学期望为零，方差为 且相互独立的高斯变量，则为瑞利分布。R的概率密度为对n个自由度的 分布，若令则R为广义瑞利分布2) 莱斯分布当高斯变量Xi(I=1,2,n)的数学期望 为 不为零时，是非中心 分布，而 则是 莱斯分布。对于任意n值有3.4.1 随机序列收敛设有随机变量X及随机变量序列Xn (n=1,2,)，均有二阶矩
8、，且则称随机变量序列Xn 依均方收敛于X， 或者说，随机变量X是随机变量序列Xn 在n趋于无穷时的均方极限。（m.s.收敛 ）3.4随机序列收敛如果随机变量序列Xn满足那么该序列k阶收敛于X。以概率1收敛（a.e.收敛，准处处收敛，强 收敛）若随机变量满足 的概率为 1，则称随机变量序列Xn以概率1收敛于 X，记为依概率收敛（p收敛，随机收敛）若对于给定的正数 ，随机变量序 列Xn满足则称随机变量序列Xn依概率收敛于X分布收敛（d收敛，弱收敛）若Xn的概率分布函数在x的每一连续点 收敛于X的概率分布函数，则称随机变量序 列依分布收敛于随机变量X，记为四种收敛的关系随机变量的抽样n均匀分布到其它分布n高斯分布，中心极限定理n利用计算机的产生伪随机数（不能产生连续点， 由位数决定）n加同余法 yn+1=yn+c（mod M） xn+1=yn+1/Mn乘同余法 yn+1=ayn（mod M） xn+1=yn+1/MnM和初始y0为正整数，M越大越好
