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1、7-4 离散系统的单位序列响应离散系统的单位序列响应对于线性时不变离散时间系统，若激励为单位序列)(k时，其系统的零状态响应)(kh称为单位序列响应。根据激励为单位序列的特点，系统的单位序列响应在时域有不同的求解方法。一、迭代法一、迭代法对于一阶系统 0 0)()() 1()(0 kkykfkyaky当)()(kkf时，令)()(khky，则有)() 1()(0kkhakh0)(kh0k根据此方程及初始状态，可由递推式得) 1()()(0khakkh1) 1(1)0(0hah00)0() 1 (ahah2 00)() 1 ()2(ahah3 00)()2()3(ahahkakhakh)() 1
2、()(00故可知该一阶系统的单位响应为)()()(0kUakhk可见这种递推法是一个不断迭代过程，又称之为迭代法。当系统阶数较高时，用这种迭代法求单位序列响应常常难以写成一个闭合的解析表达式。通常可用其他方法求解。二、等效初值法二、等效初值法当一个零状态系统的激励为单位序列)(k时，可知当 k0 时，系统激励为零，因此可将单位序列(k)激励的作用等效为系统的初始值。当 k0 时，系统等效为一个零输入系统。所以求系统单位序列响应转化为求系统等效零输入响应。例例 7-14 某离散时间系统如图 7-20 所示。求系统单位序列响应。解解 由图 7-20 可得系统的差分方程为)()2(21) 1()(k
3、fkykyky当)()(kkf时，)()(khky，即)()2(21) 1()(kkhkhkh并且有 0)(khk0由迭代法可知等效初始值为1)0(h1) 1 (h当 k1 时，有1/Ef(k) 7 - 201/E11/2y(k)1) 1 ( 1)0(0)2(21) 1()(hhkhkhkh其差分方程对应的特征方程为0212解得其特征根为21 211j21 212j故单位序列响应)(kh的形式与零输入响应形式相同，即4 24 121)22()22()21 21()21 21()(kjkkjkkkeCeCjCjCkh根据等效初值1)0(21CCh4 24 122 22) 1 (jjeCeCh求得
4、 4 122 21 21jejC4 222 21 21jejC所以4) 1(cos)22(2)22()(14)1( 4)1(1keekhkkjkjk0k 在此例中，把单位序到)(k的激励作用等效为一个初值)0(h，进而递推出 h(1)，从而较方便地得到单位序列响应)(kh的闭合式解。三、传输算子法三、传输算子法离散时间系统在时域也可用传输算子)(EH来描述。)(EH是两个 E 的多项式之比，即011 1011 1)(aEaEaEabEbEbEbEHn nn nm mm m (7-29) 为便于对)(EH一般形式的分析，先讨论一个一阶系统)() 1()(0kfkyaky其传输算子为01 011)
5、(aEE EaEH由前面的迭代法可知，其单位序列响应为)()()(0kUakhk根据这种方法，可以推得其他形式的传输算子所对应的单位序列响应。比如0)(aEEEH可求得 ) 1()()(1 0kUakhk表 7-2 中列出了一些常用的)(EH与)(kh的对应关系，以便查找。表表 7-2 )(EH与与)(kh的对应关系的对应关系)(EH)(khmErEE 2)(rEE nrEE )(rEE )(mk )(kUrk)(1kUkrk)()2()2)(1()!1(11kUrnkkkknnk ) 1(1kUrk因此，若已知离散时间系统的传输算子)(EH，则可用部分分式展开方法求得单位序列响应)(kh。其
6、基本步骤如下：(1) 将)(EH除以 E 得到EEH)( ；(2) 将EEH)( 展成部分分式形式；(3) 将展开的部分分式乘以 E，得到)(EH的展开式 nid iiirEEAEH1)()( (7-30) 式中，ir为)(EH的极点；id为极点的重数；iA为部分分式项的系数；n 为)(EH相异极点数。(4) 查表 7-2，求出系统单位序列响应)(kh。例例 7-15 已知某离散时间系统的传输算子为651)(2EEEH求单位序列响应)(kh。解解 因) 3)(2(1)(EEEH ,有33122161)3)(2(1)( EEEEEEEEH即331 221 61)(EE EEEH查表 7-2，得)
7、(61 61k)(221 221kUEEk)(331 331kUEEk故所求单位序列响应为)()221331()(61)(kUkkhkk也可写为)()23()(61)(11kUkkhkk或 ) 1()23()(11kUkhkk例例 7-16 某离散时间系统的差分方程为)2(25. 0) 1(3)(11)3(05. 0)2(45. 0) 1(2 . 1)(kfkfkfkykykyky求单位序列响应。解解 由已知差分方程可得系统传输算子为05. 045. 02 . 1 25. 0311)(2323EEEEEEEH有222)5 . 0(5 5 . 0 10 2 . 0 1 )5 . 0)(2 . 0(25. 0311)( EEEEEEE EEH即2)5 . 0(5 5 . 0 10 2 . 0)(EE EE EEEH因此，系统单位序列响应为)()5 . 0(5)5 . 0(102 . 0)(1kUkkhkkk
