116§4.6 乘积测度与乘积测度与 Fubini 定理定理 教学目的教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理—Fubini 定理. 本节要点本节要点 乘积测度的构造利用了§2.2 测度的延拓定理. Fubini 定理是积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用. 设X和Y是两个非空集, .,YBXA⊂⊂ 称BA×为YX×中的矩形(定义∅=×∅∅=∅×BA,). 例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即1R=×1R.2R 当A和B是直线上的有界区间时, BA×就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间, 但可以将1R=×1R2R这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形具有如下性质(图 6—1): (1).).()()()(21212211BBAABABA∩×∩=×∩× (2).)].()[(])[()()(21211212211BBAABAABABA−×∩∪×−=×−× 图 6-1 设),,(µAX和),,(νBY是两个测度空间. 若,A∈A,B∈B 则称BA×为可测矩形. 设C是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证C是一个半环. 由C生成的代数−σ)(Cσ称为A与B的乘积σ-代数, 记为.BA× )()(21212BBAAE−×∩=1211)(BAAE×−=X1A?????????2A1E 2B1BY???????2E117在C上定义一个非负值集函数如下. 对任意∈×BAC, 令 ).()())((BABAνµνµ⋅=×× (1) 定理定理 1 由(1)式定义的集函数νµ×是C上的测度. 证明证明 显然0))((=∅×νµ. 往证νµ×在C上是可数可加的. 设BA×是一个可测矩形, }{nnBA×是一列互不相交的可测矩形使得1.nnnABAB∞=×=×∪由于}{nnBA×是互不相交的, 故成立 . )()()()(1∑∞−=nBABAyIxIyIxI nn对任意固定的,Yy∈ 将上式两边对x积分并利用单调收敛定理得到 . )()()()(1∑∞==nBnByIAyIA nµµ 再对y积分得到. )()()()(1∑∞=⋅=⋅nnnBABAνµνµ 这就是 . ))(())((1∑∞=××=××nnnBABAνµνµ 即νµ×在C上是可数可加的. 因此νµ×是C上的测度. ■ 设R是由C生成的环, 即 }.1,, ,:{1 1≥===kEEEAkkii是互不相交的可测矩形∪R 注意由于∈×YX,R 故R实际上是一个代数. 按下面的方式将νµ×延拓到R上. 若∈E,R E的一个分解式为,1∪kiiiBAE=×= 则令 . )()())((1∑ =⋅=×kiiiBAEνµνµ (2) 由§2.2.引理 7, ))((BA××νµ的值不依赖于BA×的分解式的选取. 由定理 1 和§2.2 定理 8立即得到如下定理. 定理定理 2 由(2)式定义的集函数νµ×是R上的测度. 设∗× )(νµ是由νµ×导出的外测度, νµ×M是∗× )(νµ可测集的全体所成的−σ代数. 由§2.2 定理 5, ∗× )(νµ在νµ×M上是一个测度, 称这个测度为µ和ν的乘积测度, 仍记为118νµ×. 称测度空间),,(νµνµ×××MYX为),,(µAX与),,(νBY乘积空间. 由§2.2.定理10, 测度空间),,(νµνµ×××MYX是完备的. 容易证明若µ和ν都是−σ有限的, 则νµ×也是−σ有限的(其证明留作习题). 由第一章习题第 26 题的结果知道)(Cσ=).(Rσ 由BA×的定义和§2.2 定理 5, BA×=)(Cσ=⊂)(Rσνµ×M. 因此νµ×也是BA×上的测度. 有时也称测度空间),,(νµ×××BAYX为),,(µAX与),,(νBY乘积空间. 下面我们将证明 Fubini 定理. 为此需要作一些准备. 设.,XxYXE∈×⊂ 称集}),( :{EyxYyEx∈∈=为E在x的 截 口 . 类 似 地 , 对,Yy∈ 称 集}),( :{EyxXxEy∈∈=为E在y的截口. 注意xE和yE分别是Y和X的子集(图 6—2). 图 6—2 容易验证关于截口成立 ,)()().i (11∪∪∞=∞==nxnx nnEE .)().ii(xxxFEFE−=− 同样, 关于y的截口也成立类似的性质. 定理定理 3 设),,(µAX和),,(νBY是两个−σ有限的测度空间, ∈EBA×. 则 ).i (对任意,Xx∈ 必有.B∈xE ).ii()(xEν和是),,(µAX上的可测函数. 并且成立等式 ∫=×.)())((µννµdEEx(3) XYxEyExyE ?????????119证明证明 ).i (设C是可测矩形的全体. 令 F}.,:{BBA∈∈×∈=xEXxE对任意 若∈×=BAE,C 则 当Ax∈时 , .BEx=当Ax∉时 , .∅=xE 故 对 任 意,Xx∈.B∈xE 因此.FC⊂ 利用截口的性质容易证明F是一个σ-代数. 因此得到=×BA⊂)(Cσ.F 即对任意Xx∈必有.B∈xE )ii(先设.)(+∞∫∫证明证明 令},0)(: ),{(≥>=txftxE 则}.)(:{txfxEt>= 显然txf−)(是乘积空间)),(,(11mX×××µRRMF上的可测函数, 故∈>−=}0)(: ),{(txftxE)(1RMF×. 因此函数),()(txIxIEEt=是关于)(1RMF×可测的. 由 Fubini 定理我们有 ( )101 { : ( )}01 { : ( )}010( )( )( )({ :( )}).f xppXXp x f xtXp x f xtXpf xddptdtdptIx dtptdtIx dptx f xtdtµµµµµ−+∞− >+∞− >+∞−====>∫∫∫∫∫∫∫∫■ 下面我们将本节的结果用到nR上的 Lebesgue 积分上去. 定理定理8 设)(1RB和)(2RB分别是1R和2R上的Borelσ-代数, 1m和2m分别是1R和2R上的 Lebesgue 测度. 则×)(1RB=)(1RB)(2RB并且在)(2RB上.211mmm=× 即 =×××)),()(,(111111mmRRRRBB).),(,(222mRRB 证明证明 设R是2R中的左开右闭方体的全体生成的环, R′是由2R中的 Lebesgue 可测矩形的全体生成的环. 则=)(Rσ),(2RB =′)(Rσ×)(1RB).(1RB 由于⊂RR′, 故 =)(2RB=′⊂)()(RRσσ×)(1RB).(1RB 反过来, 令1p和2p是2R到1R的投影函数, 即. ,),(1xyxp= yyxp=),(2. 则1p和2p都是连续的, 因而是2R上的 Borel 可测函数. 由§3.1 定理 2, 若∈BA,)(1RB, 则∈−)(1 1Ap)(2RB, ∈−)(1 2Bp).(2RB 于是 124).()()()()(21 21 111RRRB∈∩=×∩×=×−−BpApBABA 故⊂′R).(2RB 于是×)(1RB=)(1RB⊂′)(Rσ).(2RB因此×)(1RB=)(1RB)(2RB. 由乘积测度的定义容易知道在R上.211mmm=× 由§2.2 定理 6 知道在)(Rσ上.211mmm=× 即在)(2RB上面.211mmm=×■ 定理定理 9 两个一维 Lebesgue 测度空间的乘积测度空间是二维 Lebesgue 测度空间, 即 =×××),,(1111mm iimmMRR).),(,(222mRRM (8) 证明证明 仍设R, R′, 1m和2m如定理 8. 由定理 8, =×××)),()(,(111111mmRRRRBB).),(,(222mRRB 此即 =×′×)),(,(1111mmRσRR).),(,(22mRσR 由 §2.2定 理15, ),,(1111mm iimm×××MRR和)),(,(222mRRM分 别 是)),(,(1111mm×′×RσRR和)),(,(22mRσR的完备化空间. 因此(8)成立.■ 推论推论 10 设f是2R上的非负 L 可测函数或 L 可积函数.则成立 2Rf dxdy=∫dyf dx∫∫11RR=.dxf dy∫∫11RR特别地, 当dyf dx<+∞∫∫11RR或者dxf dy<+∞∫∫11RR时, 成立 dyf dx∫∫11RR=.dxf dy∫∫11RR(我们将2R上的 L 积分记为2. Rf dxdy∫) 证明证明 将定理6和推论7应用到乘积空间),,(1111mm iimm×××MRR上, 并利用定理9 即得. ■ 显然, 对pR与qR的乘积空间qp+R的情形,成立与推论 10 类似的结果. 例例 2 计算 0sin()(0).axbxxIeedxabx+∞−−=−<<∫解解 我们有 00sin()sin.baxbxxyaxeedxdxexdyx+∞+∞−−−−=∫∫∫由于 001sinln.bbbxyxyaaabdyex dxdyedxdyya+∞+∞−−≤==<+∞∫∫∫∫∫由 Fubini 定理(推论 7), 我们有 002sinsin1arctgarctg .1bbxyxyaabaIdxexdydyexdxdybay+∞+∞−−====−+∫∫∫∫∫125小小 结结 本节首先介绍了测度空间的乘积空间.乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理. 本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理—Fubini 定理. Fubini 定理是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用. 习习 题题 习题四, 第 43 题—第 57 题. 。