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1、龙旺庄中心初级中学 初四数学 编制人：官金星 审核人： 编号：NO.1 时间：2012-12-29 龙旺庄中心初级中学 初四 编制人：官金星审核人： 编号：NO.X 时间：2012-12-301初初四初四圆圆的有关概念、性质定理的有关概念、性质定理一、圆一、圆.平面内点和圆的位置关系：（用d表示这点到圆心的距离，r表示圆的半径）1.点在圆内dr；二、圆的对称性二、圆的对称性（一）圆中有关概念：（一）圆中有关概念：1. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A、B为端点的弧，记作.ABAB 2. 弦：连接圆上任意两点间的线段，叫做弦，如图中的线段AB. 3. 直径：经过圆心的弦，叫做直径.
2、（如图中的AC）（注意：直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦）。4. 等弧：在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧.（注意：等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。等弧的长度 必定相等，弧的度数相等。）5. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条等弧，每一条弧都叫做半圆.（注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。半圆不包括直径，如右图）。6. 优弧：大于半圆的弧称为优弧，记作（用三个字母表示）7. 劣弧：小于半圆的弧称为劣弧，记作（用两个字母表示）ABAB 8. 圆心角：顶点在圆心，角的两边在圆内的部分是半径，这样的角叫做圆心角.9.弦心距：圆心到弦的距离
3、. (如图（1）中OC的长度) 10.弓形：由弧及其所对的弦所组成的图形叫做弓形.（如图（1）中的阴影部分）11.弓形的高：弓形中弧的中点到弦的距离叫做弓形的高. （如图（1）中的CD）12.同心圆：圆心相同，半径不等的圆，叫做同心圆. (如图（2）)（二）有关定理（二）有关定理1 1.圆的对称性定理圆的对称性定理：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.圆具有旋转对称性.特别地，圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 （注意：一个圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，一个圆绕圆心旋转任意角度，都能够和原图形重合，即圆还具有旋转对称性）.2.2.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，
4、并且平分弦所对的两条弧.推论推论1 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.推论推论2 2（补充）：弦的垂直平分线必过圆心（注意：如果一条直线具有：(1)经过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的劣弧(5)平分弦 所对的优弧，这五个性质的任何两个性质，那么这条直线就具有其余三个性质，即：“知二推三知二推三 ”）.3 3.圆心角定理圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等， 所对的弦的弦心距相等.几何语言：AOB=COD,=,AB=CD,OE=OF.推论推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中 有一组量相等，
5、那么它们所对应的其余各组量都分别相等（“知一推三知一推三”）4. .弧的度数定理弧的度数定理：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.三、圆周角三、圆周角1. 圆周角的定义：顶点在圆上，角的两边在圆内的部分是圆的弦，这样的角叫做圆周角.2.圆周角定理圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. 推论1：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论3：直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径. 推论4（补充）：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.几何语言：AB是直径，C=90/C=90, AB是直径.2. 重要公式重
6、要公式：三角形两边的乘积等于第三边上的高与其外接圆直径的乘积。即ABAC=ADAEOBOA CD（1）O（2）FEDO ABCMOABCDBACOABCDE（提示：由ABEADC可证）OABC补充龙旺庄中心初级中学 初四数学 编制人：官金星 审核人： 编号：NO.1 时间：2012-12-29 龙旺庄中心初级中学 初四 编制人：官金星审核人： 编号：NO.X 时间：2012-12-303OABC四、确定圆的条件四、确定圆的条件1. 确定圆的条件定理确定圆的条件定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.2. 三角形的外接圆、圆内接三角形：经过三角形各顶点的圆， 叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做这
7、个圆的内接三角形.（如图中的ABC叫做O的内接三角形，O叫做ABC的外接圆）3. 三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.（外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等）.(如图中的圆心O就是ABC的外心)（注意：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外 心在三角形的外部.）4. 圆的内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.5.圆内接四边形定理圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补.6. 推论推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.几何语
8、言：A、B、C、D四点共圆，A+ACD=B+D=180，1=A.五、直线和圆的位置关系五、直线和圆的位置关系1.直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.（表中：d表示圆心到直线的距离，r表示圆的 半径）位 置 关 系相 离相 切相 交图 形l POlPOlBAPO公共点的个数012d与r关系drd=rdR+rd=R+rR-rdR+rd=R-r0dR-r1.圆心距：两圆圆心之间的距离，称为圆心距.2.连心线：经过两圆圆心的直线叫做连心线.（如图中的直线l）3. 连心线的性质定理连心线的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.几何语言：l为O1与O2连心线，l垂直平分AB.补充定理补充
9、定理：相切（外切或内切）两圆的连心线必过两圆的切点. 几何语言：几何语言：l为两圆连心线，O1与O2相切l必过切点P.七、正多边形和圆七、正多边形和圆1.n边形的内角和为（n-2）180；外角和为360；对角线有条；(3) 2n n2.正n边形的有关概念：如图, 在正n边形ABDEF中，.点O是正n边形的中心（即正n边形外接圆、内切圆的圆心）.OA是正n边形的半径（即外接圆半径）.OH是正n边形的边心距（即内切圆的半径）. AOB是正n边形的中心角（即正多边形每条边所对的圆心角）.注意：.正n边形的外角=中心角=；如图，即OBG =AOB=.360 no360 no.相似正多边形的周长之比等于
10、相似比（可以是对应边或对应半径或或对应边心距的比）. .相似正多边形的面积之比等于相似比的平方. 正n边形有n条对称轴；边数为偶数的正n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；边数为奇数的正n边形只是轴对称图形.八、弧长及扇形的面积八、弧长及扇形的面积1.圆周长C=2r=d；圆面积S=r2.(其中d为圆的直径，r为圆的半径)2.圆弧长公式： ； 180nlR3.S扇形AOB=.21 3602nRlR九、圆锥的侧面积九、圆锥的侧面积1.S圆锥侧=rl； S圆锥表=r(r+l)（如图）注：锥角为60的圆锥的侧面展开图是半圆（如图）。1.1.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角（L：圆锥母线；R：圆锥底面半
11、径）360LR2. 圆锥的全面积 = 侧面积 + 底面积ABPOCDE7-O1o2O1o2 O1o2O1o2O1o2lBAO1O2lPO1O2lPO1O2龙旺庄中心初级中学 初四数学 编制人：官金星 审核人： 编号：NO.1 时间：2012-12-29 龙旺庄中心初级中学 初四 编制人：官金星审核人： 编号：NO.X 时间：2012-12-3071-a1-bFOEDCBA2.S圆柱侧=2rl；S圆柱表=2r(r+l). （圆柱的侧面展开图如右图）十、十、补充：1.滚圆问题：滚圆问题： 圆心移动的距离(s)等于圆经过的路径长；滚圆自转的周数:. 2snr设定圆半径为R，动圆半径为r，若动圆在定圆
12、外侧滚动(如图1-a)，则动圆自转圈数：; 2 () 2RrRrnrr 若动圆在定圆内侧滚动(如图1-b)，则动圆自转圈数：。2 () 2RrRrnrr 半径为r的圆形纸片沿周长为p的任意多边形滚动一周回到起始位置，圆心经过的路径长为p+2 r.2.如图，在同心圆O中，大圆的弦a与小圆相切，则围成的圆环的面积为：S环=。2( )2a由此得到：(图2-b)边长为a的正n边形的外接圆与内切圆.组成的圆环的面积为：S环=。2( )2a1在下列各图7-132中，设ACCB，BC=a，CAb，AB=c，求O的半径R。2、如图，RtABC中，ABC90，以AB为直径作O交AC边于点D，E是边BC的中点，连
13、接DE.（1）求证:直线DE是O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OFCF，求tanACO的值.3 如图，在ABC中90ACBo，D是AB的中点，以DC为直径的Oe交ABC的三边，交点分别是GFE，点GECD，的交点为M，且4 6ME ，:2:5MD CO （1）求证：GEFA （2）求Oe的直径CD的长（3）若cos0.6B，以C为坐标原点，CACB，所在的直线分别为X轴和Y轴，建立平面直角坐标系，求直线AB的函数表达式4 如图，在平面直角坐标系xOy中，O交x轴于A、B两点，直线FAx轴于点A，点D在FA上，且DO平行O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C.（1）判断直线DC与O的位置关系，并给出证明；（2）设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式.aO2-aarR2-bEADGBFCOM第25题图龙旺庄中心初级中学 初四数学 编制人：官金星 审核人： 编号：NO.1 时间：2012-12-29 龙旺庄中心初级中学 初四 编制人：官金星审核人： 编号：NO.X 时间：2012-12-309
