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1、第十单元第十单元 无穷级数无穷级数 一、无穷级数的概念与性质一、无穷级数的概念与性质1 1、无穷级数：、无穷级数：，简称级数。其中 un称为通项，也叫一般LLn nnuuuu21 1项。为级数的前 n 项的部分和。 niinuS1收敛：收敛：存在，则称为级数的和和。nnS limnnS lim发散：发散：不存在。nnS lim数项级数：数项级数：中的每项 un均为常数。1nnu函数项级数：函数项级数：中的项 un不全为常数。1nnu2 2、基本性质、基本性质性质性质 1 1、若收敛于 S，则收敛于 kS；1nnu1nnku若发散，k0，则也发散。1nnu1nnku性质性质 2 2、若与皆收敛，
2、则也收敛。1nnu1nnv)(1n nnvu 性质性质 3 3、在前面部分去掉或添上有限项，不改变级数的收敛性。1nnu性质性质 4 4、收敛级数加括号后所得的级数仍收敛于原级数的和。性质性质 5 5、 （收敛的必要条件）若收敛，则必有。1nnu0lim nnu说明：说明：并不能保证一定收敛。0lim nnu1nnu推论：推论：，则必定发散。0lim nnu1nnu三个标准级数：三个标准级数：2（1 1）等比级数：等比级数： rarrnnar1110和为收敛发散（2 2）p级数：级数： 1 101p pnpn收敛 发散（3 3）调和级数：调和级数：发散01nn例例 1 1 若级数收敛，记，则（
3、 B B ）1nnu niinuS1 为单调数列可能不存在存在nnnnnnnSDSCSBSA.lim.lim.0lim. 例例 2 2 若级数收敛，则下列级数不收敛的是（ B B ）1nnuknnnn nn nnuDuCuBuA2.2.)2(.2.111例例 3 3 判定的收敛性。1) 12)(12(1nnn解：解：因)121 121(21 ) 12)(12(1 nnnnun)1211 (21)121 121()71 51()51 31()311(21 nnnSnL21)1211 (21limlim nS nnn所以，收敛，且收敛于。1) 12)(12(1nnn21二、正项级数二、正项级数1
4、1、定义：、定义：若中的每一项 un0， （n=1，2，）则称为正项级数。1nnu1nnu2 2、比较判别法（审敛法）、比较判别法（审敛法）若与皆为正项级数，且 0unvn(n=1,2,),则1nnu1nnv（1）当收敛时，必收敛； （大敛小必敛）（大敛小必敛）1nnv1nnu3（2）当发散时，必发散； （小散大必散）（小散大必散）1nnu1nnv3 3、比值判别法、比值判别法设为正项级数，且，则1nnunnnuu1lim（1）当 1 时，发散；1nnu（3）当 =1 时，此法失效。 说明：说明：（1）un中含 n!、nn、an(a0)、nk(k0)时，用比值法较为方便； （2）利用比较法时，
5、要先有个初步估计，然后选择一个标准级数与之比较。4 4、极限形式的比较判别法、极限形式的比较判别法设与皆为正项级数，且，1nnu1nnvkvunnn lim当 01（或）时，级数发散； nnnulim1nnu（3）当 l=1 时，级数可能收敛也可能发散。1nnu4例如：例如：证明级数是收敛的。LLnn1 21 21122证明：证明：，由根式审敛法知收敛01lim1lim nnnnnnLLnn1 21 21122例例 1 1 设与都是正项级数，且 unvn(n=1,2,),则下列命题正确的是 （ 1nnu1nnvD D ）收敛则发散若收敛则收敛若1111,.,.nn nn nn nnvuBvuA
6、收敛则收敛若发散则发散若1111,.,.nn nn nn nnuvDuvC例例 2 2 判定级数的收敛性。1)11 (1nn n解：解：因01)11 (1limlim e nu nnnn所以级数发散。 （推论）（推论）1)11 (1nn n例例 3 3 判定的收敛性。1313nnn解：解：因131 ) 13(31) 1(3lim31331) 1(3limlim11 nn nnuunnnnnnn所以收敛。1313nnn例例 4 4 判定级数（a0,ae）的收敛性。1!nnnnan5解：解：ae naannnannanuunnnnnnnnnnnnn )11 (1lim) 1(lim! ) 1( )
7、 1(limlim111故当 ae 时，收敛；1!nnnnan00)、nk(k0)，考虑用比值法判别；（3）使用比较判别法，先作一个初步估计，再选择标准级数。例例 6 6 判定级数的收敛性。122nnn6解：解：（，比值法失效）1lim1nnnuu法一：利用极限形式的比较判别法，取为发散级数111nnnnv（同敛散）（同敛散）012lim12limlim222 nnnnnvunnnnn故发散。122nnn法二：比较判别法，由于nnvnnnn nnu11 222又发散 （调和级数）（调和级数）2111 11nnnnnnv故发散。122nnn三、任意项级数三、任意项级数1 1、定义：、定义：如果中
8、的各项 un可以是正数、负数或零，则称 为任意项级数。1nnu1nnu（除特殊情形外，没有判别收敛的一般法则）（除特殊情形外，没有判别收敛的一般法则）2 2、交错级数：、交错级数：（1 1）定义：）定义：形如 u1-u2+u3-+(-1)n-1un+(其中 un0)的级数称为交错级数。（2 2）莱布尼兹定理：）莱布尼兹定理：若交错级数（其中 un0，n=1,2）满足 un n nnu01) 1(un+1，n=k,k+1,0lim nnu则必定收敛，且其和 Su1,余项的绝对值。n nnu01) 1(1nnur（3 3）莱布尼兹级数）莱布尼兹级数，该级数为收敛级数。 （可作为公式使用）（可作为公
9、式使用）LL nn1) 1(41 31 2111四、绝对收敛与条件收敛四、绝对收敛与条件收敛1 1、绝对收敛：、绝对收敛：若收敛，则必收敛，此时称绝对收敛。1nnu1nnu1nnu72、条件收敛：条件收敛：若收敛，而发散，此时称条件收敛。1nnu1nnu1nnu3、交错级数判敛的一般步骤：交错级数判敛的一般步骤：先判定的收敛，若收敛，则绝对收敛。1nnu1nnu1nnu若发散，再考察的收敛性，如果收敛，则为条件收敛。1nnu1nnu1nnu例例 1 1 当满足下列条件（ D D ）时，收敛。)0() 1(1n nnnuu收敛11.1.0lim.), 2 , 1(.nnnnnnnuDnuCuBn
10、uuAL例例 2 2 下列级数中条件收敛的级数是（ C C ）2 11111) 1(.1) 1(.) 1(.1) 1(.nDnCnBnnAnnnnnnnn说明：说明：A、B 通项的极限为 10；D 绝对收敛。例例 3 3 级数是（ A A ）23 111) 1(nnnA、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、收敛性不能判定说明：说明：取绝对值后为的正项 p 级数，故绝对收敛。123p例例 4 4 判定级数的敛散性。L5ln1 4ln1 3ln1 2ln1解：解：所给级数为交错级数，且满足，) 1ln(1 nun1)2ln(1 ) 1ln(1nnunnu0) 1ln(1limlim nu nnn
11、所以，由莱布尼兹定理可知：收敛。L5ln1 4ln1 3ln1 2ln1例例 5 5 研究级数的收敛性，其中常数 a0。a nn n1) 1(11解：解：记,则, ,从而知为 p 级数，且an nnu1) 1(1annnuu1111na nnnu8当 a1 时，收敛，故绝对收敛；11nana nn n1) 1(11当 01 时，绝对收敛；a nn n1) 1(11当 0R 时, 发散;0nn nxa当x=R 时, 可能收敛也可能发散.。0nn nxa则称 R R 为为的收敛半径，的收敛半径， （-R-R，+R+R）为）为的收敛区间的收敛区间。0nn nxa0nn nxa说明：说明：在收敛区间（
12、-R，+R）内，绝对收敛，两端点处需另外讨论，不作要不作要0nn nxa求求。 六、收敛半径的求法六、收敛半径的求法1 1、对于不缺项的幂级数、对于不缺项的幂级数0nn nxa设幂级数的系数有，则nnnaa1lim（1）当 00） （1）展开为 x 的幂级数；（2）展开为 x-b 的幂级数 axxf1)(ba)。 （与（与相近）相近）x11解：解：（1） 01 0)(1)1 (11)(nnn nnax ax a axaaxxf收敛区间为：，即-axa11ax（2）) 11(1 )()(11)(babxabbxabaxxf15 01 0)()()(1nnn nnbabx babx ab收敛区间为
13、：1 babx例例 2 2 将函数展开成 x+1 的幂给数，并指出收敛区间。xxf31)(解：解：01 04) 1()41(414111 41 ) 1(41 31)(nnnnnxx xxxxf收敛区间：，即-4x+14,解得-5x3.1411x例例 3 3 设函数， （1）将 f(x)展开成 x 的幂级数；（2）利用（1）的结果，求xexf2)(数项级数的和。 （与（与 e ex x相近）相近）0!2nnn解：解：（1）),(,!2 !)2()(002xnx nxexfnnnnn x（2）在上等式中，取 x=1，即得。20!2ennn 例例 4 4 将展开为幂级数。)(21)(xxeexf解：解：由于 (-,+)0!nn x nxe(-,+)0!) 1(nn nx nxe所以nnnnnxxxnxneexf200)!2(1) 1(1 !1 21)(21)(收敛区间为（-，+）说明：说明：n 为奇数时，故仅有偶数次项。0) 1(1n例例 5 5 将在 x=0 处展开为幂级数。 （与（与 e ex x相近）相近）2)(xexf解：解：)(,!)()(02022xnx nxexfnnnn x16说明：说明：“将 f(x)展开为 x 的幂级数”
