角函数与平面向量专题复习策略

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1、1三角函数与平面向量专题复习策略三角函数与平面向量专题复习策略九江市同文中学 陈 劲 三角函数是高中数学教学重点内容，是以角作为自变量的一类函数，包含了三角公 式的变换，三角函数的图像和性质，解三角形及其应用等内容，一直是数学高考的主体内 容， 平面向量作为课程新增内容，具有代数和几何形式的“双重身份” ，这使它成为中学数 学知识的一个交汇点，在数学高考高考试题中有着重要的地位。这部分能否得高分对数学 成绩是否理想在一定程度上起着决定性的影响. 一、知识结构和考纲要求一、知识结构和考纲要求 1三角函数内容课程标准考试大纲区别任意角弧度制了解任意角的概念和弧度制，能进行角度与弧度的互化理解弧度的

2、意义，并能正确的进行弧度和角度的换算课标明确提出任意角的概念；由理解变为了解，要求略有降低三角函数1.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.2.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公的正弦、余2，弦、正切，能画出sin ,cos ,tanyx yx yx的图象，了解三角函数的周期性3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数上0,2 (,)2 2 的性质（如单调性、最大和最小值、图象和 x 轴的交点等）.4.理解同角三角函数的基本关系式：22sincos1xxsintancosxxx5.结合具体实例，了解的实际意义；sin()yAx能借助计算器或者计算机画出的图象，观察sin

3、()yAx参数 A, 、对函数变化的影响6.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现1.使学生掌握任意角的三角函数定义、三角函数符号、三角函数性质、同角三角函数间的关系式与诱导公式，了解周期函数与最小正周期的意义2.能运用上述三角函数的公式化简简单的三角函数式、求任意角的三角函数值域证明三角恒等式，会有已知三角函数值求角。3.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和sin()yAx的简图，并通过正弦曲线的应用，培养学生解决有关实际问题的能力课标特别重视数形结合思想的应用和能力的形成，特别重视让学生

4、参与三角函数概念、公式、图象和性质等知识的产生和推导的全过程，使学生体验数学发现和创造的乐趣，学会观察、探索、分析的方法对任意角的三角函数的定义.课标删去大纲中余切、正割、余割的定义；对同角三角函数的基本关系式，课标把大纲中的三个减少为两个，减少了内容；同时把大纲中的三角函数的和、差、倍、半角公式的等三角恒等变换的公式从本章抽出来，单独列为另一章。课标删除了大纲中“已知三角函数值求角” 、“反三角函数”的内容，降低了“给角求值” 、 “证明三角恒等式”的难度要求，新增了“三角函数模型的简单应用” ，增强了数学应用功能的教学要求.2象的重要函数模型.3正弦定理与余弦定理通过任意三角形边长和角度关

5、系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题1.课标强调通过三角形边角关系的探求、探索，让学生了解知识的产生过程，提出的要求比大纲的要求更高。2.重视正弦定理和余弦低领在探索三角形边角关系中的作用应用举例通过运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题通过解三角形的应用教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力1.课标明确了知识的应用，要求解决的实际问题与测量和几何计算有关2.课标让学生认识到它们是解决测量问题的一种方法，提高了知识应用的层次要求2平面向量内容课

6、程标准考试大纲区别基本概念平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示平面向量的实际背景及基本理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念由理解“概念”变为理解“含义” ，由“掌握”几何表示变为“理解”几何表示，降低了要求.线性运算1.通过实例，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.2.通过实例，掌握向量数1.掌握向量加、减运算，并理解其几何意义2.掌握向量实数与向量的积的运算，理解两个向量强调“通过实例”由理解“充要条件”变为理解“含义“，降低了要求.两角和与差的正弦、余弦正切公式1.经历用向量的数量积推导

7、出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用2.能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力1.关于公式的推导，课标降低了要求2.关于公式的推导过程，课标强调了用向量的方法简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换。 （包括引导出积化和差、和差化积、半角公式、但不要求记忆）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要

8、求记忆）公式的应用要求大致一样，课标对应用的含义更加广泛，三角恒等变换的目的不止限于化简、求值和恒等式证明，其应用的含义更在于实际生活中。4乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.3.了解向量的线性运算性质及其几何意义。共线的充要条件。3.会进行向量的线性运算。由“会”进行线性运算变为“了解”线性运算性质.基本定理及坐标表示1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解以及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面共线的条件.1.了解平面向量基本定理.2.理解平面向量的坐标的概念.3.掌握平面向量的坐标运算.4.理解两个向量共线的

9、充要条件.要求相同引入“正交分解”概念由“掌握”运算变为“会用”运算由“充要条件”变为“条件”数量积1.通过物理中德“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的家教，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.1.掌握平面向量的数量积的定义、数学表达式，及其几何意义。2.明确向量在向量的brar方向上的投影.3.掌握数量积的公式及坐标表达式，能进行数量积的运算。4.明确两向量夹角的意义，掌握两向量垂直的充要条件，能用两种形式表示向量垂直的充要条件.由“明确定义、表达

10、式”变为“理解含义”及物理意义由“明确投影”变为“体会投影的关系”对计算的要求没变由“明确意义”变为“能表示” ，由“掌握垂直的充要条件”变为“会判断垂直关系”向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力掌握平面两点间的距离公式、线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式，并能熟练运用；会用平面向量的数量积处理长度、角度等有关问题降低了理论要求，提高了实际应用的能力要求二、试题结构及重难点分析二、试题结构及重难点分析 三角函数是高中数学教学重点内容，是高考的必考内容，从近几年的高

11、考情况来看， 选择题、填空题、解答题等类型都会出现三角函数的相关知识，难度不大，属“较易”到 “中等” ，所以是兵家必争之地，大家都希望拿满分。看看江西省近三年高考解答题考点分 布情况就证明了这一点。题号11 年（文） 11 年（理）12 年（文） 12 年（理）13 年（文） 13 年（理）16统计，概 率概率，分布 列解三角形数列，求和数列，求 和解三角形17解三角形解三角形数列，求解三角形解三角形数列，求5和和18立体几何 体积，垂 直等比数列概率 古典概型概率 分布列概率 古典概型概率 分布列19解析几何 抛物线函数，导数立体几何 体积，垂 直立体几何 垂直，二面 角立体几何 距离，垂

12、 直立体几何 二面角20函数，导 数解析几何 双曲线解析几何 轨迹解析几何 轨迹解析几何 椭圆解析几何 椭圆21等比数列立体几何 体积，垂直函数，导 数函数，导数 数列，不等 式分段函数，导数分段函数，导数通过上面这个表可以清楚地看到解答题考察的几个方面。近几年的高考对三角变换的考 察要求有所降低，但对三角函数的图像与性质的考察却有所加强，三角题一般两小（或三 小）题一大题，占总分的 15。从考察的内容看，主要涉及以下四类问题： （1）应用同角变换，诱导公式和两角和与差的三角函数公式求值和等式的证明问题；（2）与三角函数图像，性质有关的问题； （3）三角形中的三角函数问题（解三角形及其应用）

13、； （4）与平面向量，导数的综合问题。 高考试题蕴含着丰富的信息，特别是近三年的高考题融入了教育改革的理念，对教学具 有辐射，导向的作用，如果教师能够认真分析，整合资源，这将是一笔丰厚的财富，一定 能得到许多的启示。 平面向量作为课程新增内容，具有代数和几何形式的“双重身份” ，有着极其丰富 的 实际背景，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，也成为多项内容的媒介，在高考试题 中主要考察有关基础知识，侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行，垂直关系的坐标 运算。高考考察重点主要体现在平面向量的数量积，坐标运算以及平面向量在三角，解析 几何等方面的应用，突出向量的工具作用。考题通常以中等难度为主。

14、在复习中要重视教 材的基础作用，加强基本概念，基础知识的复习，做到概念清楚，运算准确，不必追求解 难题。 近三年年江西省高考试卷三角函数和平面向量部分试题分布及考查的知识点如下：选择题填空题解答题理科 11 题文科 11 题理科 17 题文科 17 题2011 年江西卷求向量的夹角，考察学生计算能力，转化能力。求向量的数量积，考察学生计算能力，转化能力。三角变换及解三角形，考察学生公式变形化简求值的能力。解三角形，考察学生公式变形化简求值的能力。选择题填空题解答题理科 4 题文科 4 题文科 12 题理科 17 题文科 16 题6三、高考试题的特点分析三、高考试题的特点分析 近几年来，三角函数

15、和平面向量试题具有以下几个特点： 1、突出基础知识，基本共识与基本技能的考查.即源于基础，又高于基础；稳中有变， 但变中又有“定”. （1）三角函数内容最大的特点就是公式多，变换的形式多，如何确定变形方法和方向 是解题的关键。要求学生对公式要能“正用，逆用，变用，巧用” 。应用同角变换，诱导公 式，两角和与差的三角函数公式求值，化简和等式的证明问题，是三角函数最常见的考点， 此类考题比较简单，源于课本的三角函数公式的习题，但是又高于课本，有些问题带有隐 蔽性，需要适当转化才能化归为课本习题.例 1：（2012 年江西卷理科第 4 题）若，则1tan4tansin2A. B. C. D.1 51

16、 41 31 2 本题考查三角变换公式的应用及转化与化归，整体代换的数学思想。已知某个角的 正切值，求关于正弦，余弦的齐次分式时，常将正弦，余弦转化为正切，即弦化切，来达 到简解的目的。也可以利用切化弦的常规转化.解一：，211tantan4tantanQ21tan4tan 2222sincos2tan2tan1sin22sincossincos1tan4tan2理科 7 题文科 9 题2012 年江西卷三角变换，坐标法，考察学生公式变形，整体代换化简，求值的能力及数形结合的能力.三角变换，三角函数的性质，考察学生公式变形化简求值的能力.向量的坐标运算，考察学生计算能力，转化能力。三角函数的化简和证明，三角形中的三角函数，正弦定理。考察学生分析问题，解决问题及三角计算的能力。三角形中的三角函数，正弦定理，余弦定理。考察学生分析问题，解决问题及三角计算的能力