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1、专题四专题四 数列的综合应用数列的综合应用1等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的差；(2)a1和 d 可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前一项的关系；等比数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的比；(2)a1与 q 均不为零；(3)等比中项有两个值(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由 a1，d 或a1，q 确定2. 数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等3 解答数列应用
2、题的基本步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中4 数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是 an与 an1的递推关系，还是 Sn与 Sn1之间的递推关系1 在等比数列an中，a
3、n0，a2a42a3a5a4a625，则 a3a5的值为_答案 5解析 设首项为 a1，公比为 q，则 a10，q0，a2a42a3a5a4a6a q42a q6a q8a q4(1q2)225.a1q2(1q2)5，2 12 12 12 1a3a5a1q2a1q4a1q2(1q2)5.2 已知等差数列的公差 d0，S210，S2121a110，a115)是公比为 q (q0)的等比数列，则 m 的值为_答案 11解析 由题意，得 a362d，因为 q，所以 3d ；662d33d3q因为 q 大于零，所以 3d 是大于零的整数，q.33d由题意知，数列an各项均为整数，故 d，q 均应为整数
4、当 3d3,3dZ 时，q 不为整数，故 3d 只能取 1,3.当 3d3 时，d0，不满足条件；故 3d1，此时 d2，q3，满足条件所以 q3，d2，因此 63am6(m5)2，所以 m11.4 设数列an是公差大于 0 的等差数列，a3，a5分别是方程 x214x450 的两个实根则数列an的通项公式是 an_；若 bn，则数列bn的前 n 项an12n1和 Tn_.答案 2n1 2n22n解析 因为方程 x214x450 的两个根分别为 5、9，所以由题意可知 a35，a59，所以 d2，所以 ana3(n3)d2n1.bnn，an12n112nTn1 23(n1)n121221231
5、2n112n Tn12(n1)n1212212312n12n1得， Tn n1，所以 Tn2.121212212312n112n12n1n22n1n22n5 等比数列an中，a12，a84，函数 f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则 f(0)等于( )A26 B29 C212 D215答案 C解析 f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以 f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以 a2a7a3a6a4a5a1a88，所以 f(0)84212.题型
6、一 等差数列与等比数列的综合应用例 1 在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项 an；(2)令 bn2an10，证明：数列bn为等比数列审题视角 第(1)问列首项 a1与公差 d 的方程组求 an；第(2)问利用定义证明(1)解 由 ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组Error!解得Error!an12(n1)22n10.(2)证明 由(1)，得 bn2an1022n101022n4n，4，bn1bn4n14nbn是首项是 4，公比 q4 的等比数列探究提高 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前 n 项和；分析等差、等
7、比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法数列an的前 n 项和记为 Sn，a11，an12Sn1 (n1)(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T315，又 a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求 Tn.解 (1)由 an12Sn1，可得 an2Sn11 (n2)，两式相减得 an1an2an，则 an13an (n2)又 a22S113，a23a1.故an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，an3n1.(2)设bn的公差为 d，由 T315，b1b2b315，可得 b25，故可设 b15d，b35d，又 a11，a23，a39，由题意可
8、得(5d1)(5d9)(53)2，解得 d12，d210.等差数列bn的各项为正，d0，d2，b13，Tn3n2n22n.nn12题型二 数列与函数的综合应用例 2 已知函数 f(x)log2xlogx2(010，2n1n1nan1an，an是递增数列方法二 an1ann1 n121n n21an，an是递增数列探究提高 本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0 且 b1，b，r 均为常数)的图象上(1)求 r 的值；(2)当 b2 时，记 bn(nN*)，求
9、数列bn的前 n 项和 Tn.n14an解 (1)由题意，Snbnr，当 n2 时，Sn1bn1r.所以 anSnSn1bn1(b1)由于 b0 且 b1，所以 n2 时，an是以 b 为公比的等比数列又 a1br，a2b(b1)，b，即b，解得 r1.a2a1bb1br(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以 bn.n14 2n1n12n1Tn，222323424n12n2Tn，12223324n2n1n12n2两式相减得 Tn1222212312412n1n12n2 ，12123(112n1)112n12n23412n1n12n2故 Tn ，nN*.3212nn12n132
10、n32n1题型三 数列与不等式的综合应用例 3 (2012广东)设数列an的前 n 项和为 Sn，满足 2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求 a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有12n2(n2n)12n22n22n(n1)，0.85bn，有 250(n1)50400(1.08)n10.85.当 n5 时，a50.85b6，满足上述不等式的最小正整数 n 为 6.到 2013 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.探究提高 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信
11、息，转化为数列的有关问题，这恰好是数学实际应用的具体体现今年“十一”期间，北京十家重点公园将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨 6 时 30 分有 2 人进入公园，接下来的第一个 30 分钟内有 4 人进去 1人出来，第二个 30 分钟内有 8 人进去 2 人出来，第三个 30 分钟内有 16 人进去 3 人出来，第四个 30 分钟内有 32 人进去 4 人出来按照这种规律进行下去，到上午 11 时30 分公园内的人数是 ( )A21147 B21257C21368 D21480答案 B解析 由题意，可知从早晨 6 时 30 分开始，接下来的每个 30 分钟内进入的人数构成以4 为首
12、项，2 为公比的等比数列，出来的人数构造以 1 为首项，1 为公差的等差数列，记第 n 个 30 分钟内进入公园的人数为 an，第 n 个 30 分钟内出来的人数为 bn，则an42n1，bnn，则上午 11 时 30 分公园内的人数为S221257.4121012101102用构造数列的思想解题典例：(14 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1 ，an2SnSn1 (n2)12(1)求数列an的通项公式 an；(2)求证：S S S .2 12 22 n1214n审题视角 (1)从求证内容来看，首先要求出 Sn.(2)从 Sn与 Sn1的递推关系来看，可考虑构造新数列.(3)
13、可考虑用放缩法证明1Sn规范解答(1)解 an2SnSn1 (n2)，SnSn12SnSn1.两边同除以 SnSn1，得2 (n2)，2 分1Sn1Sn1数列是以2 为首项，以 d2 为公差的等差数列，4 分1Sn1S11a1(n1)d22(n1)2n，Sn.7 分1Sn1S112n将 Sn代入 an2SnSn1，12n得 anError!9 分(2)证明 S (3a)73.所以Error!解得 250 成立的最小正整数 n 的12值解 (1)设此等比数列为 a1，a1q，a1q2，a1q3，其中 a10，q0.由题意知：a1qa1q2a1q328，a1qa1q32(a1q22)7得 6a1q315a1q26a1q0，即 2q25q20，解得 q2 或 q .12等比数列an单调递增，a12，q2，an2n.(2)由(1)得 bnn2n，Snb1b2bn(12222n2n)设 Tn12222n2n，则 2Tn122223n2n1.由，得Tn1212212nn2n12n12n2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12.Sn(n1)2n12.要使 Snn2n150 成立，即(n1)2n12n2n150，即 2n26.241626，且 y2x是单调递增函数，满足条件的 n 的最小值为 5.B 组 专项能力提升(
