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1、1东莞市南开实验学校东莞市南开实验学校 2015 届高三上学期期中考试届高三上学期期中考试数学（理科）数学（理科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。一选择题一选择题 (5*8=40 分分)1设集合 A(x，y)|1，B(x，y)|y3x，则 AB 的子集的个数是( )x24y216A4 B3 C2 D12 22log sinlog cos1212的值为（ ）A .-2 B .l C. 1 2D .13已知x，yR，则“1xy”是“1 4xy ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知函数cos21( )sin2x
2、f xx，则有（ ）A函数( )f x的图像关于直线2x对称B函数( )f x的图像关关于点(,0)2对称C函数( )f x的最小正周期为2D函数( )f x在区间(0, )内单调递减5已知 0b0)的一个顶点，C1的长轴是圆x2a2+y2b2= 1C2：x2+y2=4 的直径l1，l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆 C2于A，B 两点，l2交椭圆 C1于另一点 D（）求椭圆 C1的方程；（）求ABD 面积取最大值时直线 l1的方程20.（14 分）如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一
3、块顶点都在圆P上的多边形活动场地.（1）如图甲，要建的活动场地为RST，求活动场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求活动场地的最大面积；21、 （满分 14 分）函数的导数为0的点称为函数的驻点,若点 1,1为函数 f x的驻点,则称 f x具“1 1驻点性”.（）设函数 2lnf xxxax ,其中0a . 求证:函数 f x不具有“1 1驻点性”； 求函数 f x的单调区间（）已知函数 3232g xbxxcx具有“1 1驻点性”,给定12,x x R,12xx,设为实数,且1 ,12 1xx,21 1xx,若 12ggg xg x,求的取值范围.xOyBl1l
4、2PDA6参考答案参考答案三三.解答或证明题解答或证明题16 （1） sv tv , CCC2cos3) 12cos2(sin22 2 分sin23cos2CC ,即tan23C 3 分 又CQ为锐角, 20,C, 223C , 3C 5 分（）3C,2 3AB6 分2sinsinsin3333BBA8 分又1sin3A ,且A为锐角，2 2cos3A 10 分12 6sinsinsincoscossin33336BAAA12 分17(13 分)（）设从袋子中任意摸出 3 个球, 摸出的球均为白球的概率是P.301=CC=P3 103 44 分（）由一次”摸球成功”的概率32=CCC+C=P3
5、 101 42 63 6. 8 分随机变量 服从二项分布)32, 3(B,分布列如下 12 分 0 123P 271 276 2712 2782 E 13 分18 （13 分） （）,ADDB ADDC，BDC是二面角BDAC的平面角.又二面角BDAC是直二面角，BDDC,BD 平面ADC，BDAC，又DFAC，BCADFEPM1、3、57AC 平面BDF，BFAC.4 分（）由（）tanAFABFBF,cosDFBFDBF.又tanAFADFDCFDF ，tancostanAF BF.8 分()连接CE交 BF 于点M，连接 PM ,则 PM DE. ABAC,ADDC, F 为AC的中点，
6、而E为 AB 的中点，M为ABC的重心,1 2EM MC,1 2DP PC.即在线段DC上是否存在一点P，使得DE PBF ，此时1 2DP PC.13 分(也可建系完成)19(14 分) （）由题意得：.2b = 1，a = 2)椭圆 C 的方程为： .4x24+ y2 = 1（）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线 l1的斜率 存在，不妨设其为 k，则直线 l1的方程为 y=kx1 .5又圆 C2：x2+y2=4，故点 O 到直线 l1的距离d=， 61k2 + 1所以|AB|=2=274d24k2 + 3k2 + 1又 l1l2，故直线 l2的方程为 x+
7、ky+k=0 由消去 y，整理得(4+k2)x2+8kx=0故x0=8k4 + k2所以|PD|= .108 k2 + 14 + k2设ABD 的面积为 S，则 S= |AB|PD|=，128 4k2 + 34 + k2 所以xOyBl1l2PDA8S=， 12324k2 + 3 +134k2 + 33224k2 + 3 134k2 + 316 1313当且仅当 k=时取等号 .13102所以所求直线 l1的方程为 y=x1 .1410220.（14 分）解：（）过S作SHRT于H，1.2RSTSSH RT 由题意，RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离；RT左边的部分是一个大小不超过
8、半圆的弓形，则有4,2RTSH，当且仅当RT切圆Q于P时，上面两个不等式中等号同时成立。 （4 分） 此时，场地面积的最大值为14 242RSTS (km2) （5 分）（）AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，以AD为直径向左边作半圆，此半圆包含弓形，半圆的内接等腰梯形的面积的最大值不小于弓形内接等腰梯形的面积的最大值，要求场地面积的最大值，只需考虑AD切圆Q于P时的情形， （7 分）设BPA，则有112 2 sin22 2 sin(2 )22ABCDS 四边形=4(sinsincos )(0).2 （10 分）21、 【解析解析】 （）1( )1afxxx ,因为(1)1 10fa ,
9、 f x不具有“1 1驻点性”.2 分MNPQRSTMNPQABCD9 f x的定义域为0,由211 24( )xaxxafxxx () 当104a,即1 4a 时,( )0fx, f x是0,上的减函数； () 当104a,即1 4a 时,显然( )0fx0. f x是0,上的减函数；4 分() 当104a,即1 4a 时,由( )0fx得11 24xa6 分当104a时, 11024a,所以110,24xaa时, 0fx,1111,2424xaaaa时, 0fx;11,24xaa时, 0fx.当0a 时, 11024a, 所以110,24xaa时, 0fx; 11,24xaa时, 0fx.综上所述:当1 4a 时, f x的递减区间为0,； 当104a时, f x的递减区间为110,24aa和11,24aa,递增区间为1111,2424aaaa；10即12xx,所以 21gg xg xg,所以 12ggg xg x,符合题设. 当1 时,1222 211xxxxx,2111 111xxxxx,即12xx,所以 21gg xg xg,所以 12ggg xg x,也符合题设.13 分由此,综合得所求的的取值范围是 , 11,0 U.14 分
