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1、1学案学案 1515 导数的综合应用导数的综合应用 导学目标： 1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利 用导数解决某些实际问题自主梳理 1函数的最值 (1)函数f(x)在a，b上必有最值的条件 如果函数yf(x)的图象在区间a，b上_，那么它必有最大值和最小值 (2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤： 求函数yf(x)在(a，b)内的_； 将函数yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个 是最小值 2实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该 函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解 自
2、我检测 1函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为 ( ) A0a2f(1)4(2011新乡模拟)函数f(x) ex (sin xcos x)在区间上的值域为1 20， 2 _ 5f(x)x(xc)2在x2 处有极大值，则常数c的值为_2探究点一 求含参数的函数的最值 例 1 已知函数f(x)x2eax (a0)，求函数在1,2上的最大值变式迁移 1 设a0，函数f(x).aln x x (1)讨论f(x)的单调性； (2)求f(x)在区间a,2a上的最小值探究点二 用导数证明不等式例 2 (2011张家口模拟)已知f(x)x2aln x(aR R)，1 2 (1)求函
3、数f(x)的单调区间；(2)求证：当x1 时，x2ln xln 21 且x0 时，exx22ax1.探究点三 实际生活中的优化问题 例 3 (2011孝感月考)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且 每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11) 时，一年的销售量为(12x)2万件 (1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值 Q(a)变式迁移 3 甲方是一农场，乙方是一工厂由于乙方生产需占用甲方的资源，因此 甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并
4、获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙 方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔t 付甲方S元(以下称S为赔付价格) (1)将乙方的年利润(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年 产量； (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002t2(元)，在乙方按照获得最大 利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价3格S是多少？转化与化归思想的应用 例 (12 分)(2010全国)已知函数f(x)(x1)ln xx1. (1)若xf(x)x2ax1，求a的取值范围； (2)证明：(x1)
5、f(x)0. 【答题模板】(1)解 f(x)ln x1ln x ，x0，x1 x1 x xf(x)xln x1.由xf(x)x2ax1，得aln xx，令g(x)ln xx，则g(x) 1，2 分1 x 当 00； 当x1 时，g(x)0，f(x)(x1)ln xx1 ln xxln xx1ln xx0，(ln 1 x1 x1) (x1)f(x)0.11 分 综上，(x1)f(x)0.12 分 【突破思维障碍】 本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等 式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数 与方程思想、化归与转化思想通
6、过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题1求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围若已知函数 单调性求参数范围时，隐含恒成立思想 2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤： (1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关 系式yf(x)； (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值； (4)回到实际问题，作出解答 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2011皖南模拟)已知曲线C：y2x2x3，点P(0，4)，直线l过点P且与曲4线C相切于点Q，则点Q的横
7、坐标为 ( ) A1B1C2D2 2已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如图所示，那么yf(x)，yg(x)的 图象可能是 ( )3设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最 有可能是 ( )4函数f(x)x3x2txt在(1,1)上是增函数，则t的取值范围是 ( ) At5 BtbBa0，试比较f(x)与g(x)的大小答案答案 自主梳理 1(1)连续 (2)极值 端点值 自我检测 1B 2.D 3.C64. 5.61 2，1 2e 2 课堂活动区 例 1 解题导引 求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性， 一般方法是令f(x)0
8、，求出 x 值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要 用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具 体情况 解 f(x)x2eax (a0)， f(x)2xeaxx2(a)eaxeax(ax22x) 令f(x)0，即 eax(ax22x)0，得 02 时，f(x)在1,2上是减函数，2 a f(x)maxf(1)ea.当 1 2，即 1a2 时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，2 a1，2 a)(2 a，2f(x)maxf4a2e2.(2 a)当 2，即 02 时，f(x)的最大值为 ea. 变式迁移 1 解 (1)函数f(x)的定义域为(0，)，
9、f(x)a(a0)，1ln x x2由f(x)a0，得 0e. 故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减 (2)f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，f(x)在a,2a上的最小值f(x)minminf(a)，f(2a)f(a)f(2a) ln ，1 2a 2 当 02 时，f(x)min.ln2a 2 例 2 解题导引 利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数 的性质进而解决不等式问题(1)解 f(x)x (x0)，a xx2a x 若a0 时，f(x)0 恒成立， 函数f(x)的单调增区间为(0，) 若a0 时，令f(x)0，得x，a 函数f(
10、x)的单调增区间为(，)，减区间为(0，)aa7(2)证明 设F(x)x3(x2ln x)，2 31 2故F(x)2x2x .1 xF(x).x12x2x1 x x1，F(x)0. F(x)在(1，)上为增函数又F(x)在(1，)上连续，F(1) 0，1 6F(x) 在(1，)上恒成立F(x)0.1 6当x1 时，x2ln xln 21 时， g(x)最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是对任意xR R，都有g(x)0， 所以g(x)在 R R 内单调递增，于是当aln 21 时， 对任意x(0，)，都有g(x)g(0) 而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0， 即 e
11、xx22ax10， 故 exx22ax1. 例 3 解 (1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x3a) (12x)2，x9,11 (2)L(x)(12x)22(x3a)(12x) (12x)(182a3x)令L0，得x6a或x12(不合题意，舍去)2 33a5，86a.2 328 3在x6a两侧L的值由正变负2 3当 86a0；当tt0时，0； 当S20 时，v0，bd，且在(0，d)上f(b)0，在d，d上f(b)0；当x10 时，V1)1 1xx2x 1x (4 分) f(x)在(0，)上单调递增， 在(1,0)上单调递减(6 分) (2)令f(x)0，即x0，则x(
12、1,0)1 e0(0，e1)f(x)0f(x)极小值Z (9 分)又f( 1)1，f(e1) e211，1 e1 2e21 21 2e2又f(x) e21.(121 2 分) 10解 (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，(2 分)k 3x5再由C(0)8，得k40，因此C(x)，(440 3x5 分) 而建造费用为C1(x)6x.(5 分) 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x40 3x56x (0x10)(6800 3x5 分)(2)f(x)6，令f(x)0，2 400 3x5210即6，解得x5，x(舍去)2 400 3x5225 3 (8 分) 当 00，(10 分) 故x5 是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.800 155 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元 (12 分) 11解 (1)f(x)ln x的图象与x轴的交点坐标是(1,0)， 依题意，得g(1)ab0.(2 分)又f(x) ，g(x)a，1 xb x2 且f(x)与g(x)在点(1,0)处有公共切线， g(1)f(1)1，即 ab1.(4 分)由得a ，b .(61 21 2 分) (2)令F(x)f(x)g(x)，则F(x)ln x(x
