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1、19.79.7 抛物线抛物线2014 高考会这样考 1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系复习备考要这样做 1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法1 抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2 抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对
2、称轴y0x0焦点F(p 2，0)F(p 2，0)F(0，p 2)F(0，p 2)离心率e1准线方程xp 2xp 2yp 2yp 2范围x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R开口方向向右向左向上向下难点正本 疑点清源1 抛物线的定义抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简22 抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离， 等于焦点到抛物p 2线顶点的距离牢记它对解题非常有益3 求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程1 动圆过点(1,0)，且与直线x
3、1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_答案 y24x解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.2 若抛物线y22px的焦点与椭圆1 的右焦点重合，则p的值为_x2 6y2 2答案 4解析 因为椭圆1 的右焦点为(2,0)，所以抛物线y22px的焦点为(2,0)，x2 6y2 2则p4.3 (2012重庆)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|0)，则M到焦点的距离为xM 2 3，p 2p 2p2，y24x.y428，2 0|OM|2.4y2 04835 设抛物线y2
4、8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ( )A. B2,21 2，1 2C1,1 D4,4答案 C解析 Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.题型一 抛物线的定义及应用例 1 已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标思维启迪：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|PF|的问题可转化为求|PA|d的问题解 将
5、x3 代入抛物线方程y22x，得y.62，A在抛物线内部，如图6设抛物线上点P到准线l：x 的距离为d，由定义知1 2|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为 ，即|PA|PF|的最小7 2值为 ，此时P点纵坐标为 2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2,2)7 2探究提高 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度 “看到准线想焦点，4看到焦点想准线” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径(2011辽宁)已知F是抛物线y2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的
6、中点到y轴的距离为( )A. B1 C. D.3 45 47 4答案 C解析 |AF|BF|xAxB 3，1 2xAxB .5 2线段AB的中点到y轴的距离为 .xAxB 25 4题型二 抛物线的标准方程和几何性质例 2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2y29 相交，公共弦MN的长为 2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程5思维启迪：首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数解 由题意，抛物线方程为x22ay (a0)设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则|MA|AN|，而|AN|.5|ON|3，|OA|2，N(，2)32 525N点在抛物线上，52a(2)，
7、即 2a ，5 2故抛物线的方程为x2y或x2y.5 25 2抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y .5 2(0，5 8)5 8抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y .5 2(0，5 8)5 8探究提高 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程如图，已知抛物线y22px (p0)有一个内接直角三角5形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为
8、 1 和 8，求抛物线的方程解 设直线OA的方程为ykx，k0，则直线OB的方程为yx，1 k由Error!得x0 或x.2p k2A点坐标为，B点坐标为(2pk2，2pk)，(2p k2，2p k)由|OA|1，|OB|8，可得Error!解方程组得k664，即k24.则p2 .16 k2k214 5又p0，则p，故所求抛物线方程为y2x.2 554 55题型三 直线与抛物线的位置关系例 3 (2011江西)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为 2的直线交抛物线于2A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10 时参数范围(或指出直线过曲线内一点)第三步：建立关于所求问题的目标函数；第四
9、步：最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出；定值问题只证明函数为常数函数，与变量无关；8第五步：反思回顾，有无忽略特殊情况温馨提醒 解决直线与圆锥曲线位置关系问题，要注意以下几点：(1)理解数形结合思想，掌握解决此类问题的一般方法；(2)不要忽略对0 的限制或验证；(3)涉及平面向量运算时，要注意垂直、中点等几何性质的应用；(4)最值范围问题，要确定目标函数；探索性问题要先假设存在，然后推理求解方法与技巧1 认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2与y22px (p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0
10、)2 抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px (p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2；p2 4(2)若直线AB的倾斜角为，则|AB|；2p sin2(3)若F为抛物线焦点，则有 .1 |AF|1 |BF|2 p失误与防范1 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程2 注意应用抛物线的定义解决问题A 组 专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1 抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线1 的一个焦点重合，则该抛物线的标y2 5x2
11、 4准方程可能是 ( )9Ax24y Bx24yCy212x Dx212y答案 D解析 由题意得c3，抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，3)，该抛物线54的标准方程为x212y或x212y.2 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为( )A18 B24 C36 D48答案 C解析 不妨设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x .代入y22px得yp，即|AB|2p，又|AB|12，故p6，p 2所以抛物线的准线方程为x3，故SABP 61236.1 23 设抛物线y
12、28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|等于 ( )3A4 B8 C8 D1633答案 B解析 设P，则A(2，y)，(y2 8，y)由kAF，即，3y0 223得y4，3|PF|PA|28.y2 84 从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为 ( )A5 B10 C20 D.15答案 B解析 由抛物线方程y24x易得抛物线的准线l的方程为x1，又由|PM|5 可得点P的横坐标为 4，代入y24x，可求得其纵坐标为4，故SMPF 5410，选 B.1 2二、填空题(每小题 5
13、 分，共 15 分)5 若点P到直线y1 的距离比它到点(0，3)的距离小 2，则点P的轨迹方程是_10答案 x212y解析 由题意可知点P到直线y3 的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3 为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.6 已知抛物线y24x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|4，则点M的横坐标x_.答案 3解析 抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为 4，则M的横坐标为 3.7 设P是曲线y24x上的一个动点，则点P到点B(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_答案
14、5解析 抛物线的顶点为O(0,0)，p2，准线方程为x1，焦点F坐标为(1,0)，点P到点B(1,1)的距离与点P到准线x1 的距离之和等于|PB|PF|.如图，|PB|PF|BF|，当B、P、F三点共线时取得最小值，此时|BF|.1121025三、解答题(共 22 分)8 (10 分)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135的直线，被抛物线所截得的弦长为 8，试求抛物线方程解 如图，依题意设抛物线方程为y22px (p0)，则直线方程为yxp.1 2设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1 x2 ，p 2p 2即x1 x2 8.p 2p 2又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由Error!消去y得x23px0.p2 4x1x23p.将其代入得p2，所求抛物线方程为y24x.当抛物线方程设为y22px时，同理可求得抛物线方程为y24x.综上，抛物线的方程为y24x.9 (12 分)已知定点A(1,0)和直线x1 上的两个动点E，F，且，动点P满足AEAF11，(其中O为坐标原点)EPOAFOOP(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若0)的焦点为F，准线为l，
