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1、F F 平面向量平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算4H1、F12012上海卷 若 d(2,1)是直线 l 的一个方向向量，则 l 的倾斜角的大小 为_(结果用反三角函数值表示)4arctan 解析 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求出12 直线的斜率由已知可得直线的斜率 k ，ktan，所以直线的倾斜角 arctan .121220H5、F1、H12012陕西卷 已知椭圆 C1：y21，椭圆 C2以 C1的长轴为短轴，x24 且与 C1有相同的离心率 (1)求椭圆 C2的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1和 C2上，2，求直线 AB 的方O
2、BOA程20解：(1)由已知可设椭圆 C2的方程为1(a2)，y2a2x24其离心率为，故，则 a4，32a24a32故椭圆 C2的方程为1.y216x24 (2)解法一：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，OBOA因此可设直线 AB 的方程为 ykx.将 ykx 代入y21 中，得(14k2)x24，所以 x ，x242 A414k2将 ykx 代入1 中，得(4k2)x216，所以 x ，y216x242 B164k2又由2得 x 4x ，即，OBOA2 B2 A164k21614k2 解得 k1，故直
3、线 AB 的方程为 yx 或 yx. 解法二：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，OBOA因此可设直线 AB 的方程为 ykx.将 ykx 代入y21 中，得(14k2)x24，所以 x ，x242 A414k2由2得 x ，y ，OBOA2 B1614k22 B16k214k2将 x ，y代入1 中，得1，2 B2 By216x244k214k2 即 4k214k2，解得 k1， 故直线 AB 的方程为 yx 或 yx.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算13F2、F32012湖北卷 已知向量 a(1,0
4、)，b(1,1)，则 (1)与 2ab 同向的单位向量的坐标表示为_； (2)向量 b3a 与向量 a 夹角的余弦值为_13答案 (1) (2) (3 1010，1010)2 55解析 (1)由题意，2ab(3,1)，所以与 2ab 同向的单位向量的坐标为，即(310，110).(3 1010，1010) (2)因为 a(1,0)，b(1,1)，所以 b3a(2,1)设向量 b3a 与向量 a 的夹角为 ，则 cos.b3aa|b3a|a|2，11，05 12 553F22012广东卷 若向量(1,2)，(3,4)，则( )ABBCACA(4,6) B(4，6) C(2，2) D(2,2)3A
5、 解析 因为(1,2)(3,4)(4,6)所以选择 A.ACABBC9F22012全国卷 ABC 中，AB 边的高为 CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则( )CBCAADA. a b B. a b13132323C. a b D. a b353545459D 解析 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用 a 和 b 作为基底去表示向量.AD易知 ab，|AB|，用等面积法求得|CD|，52 55AD，AB， (ab)，故选 D.AC2CD24 555AD45AB45 7F2、C62012陕西卷 设向量 a(1，cos)与 b(1,2cos)垂直，则 cos2 等于(
6、 )A. B. C0 D12212 7C 解析 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有12cos20，则 cos22cos210.故选 C. 6F2、F32012重庆卷 设 xR，向量 a(x,1)，b(1，2)，且 ab，则|ab|( ) A. B.510C2 D1056B 解析 因为 ab，所以 ab0，即 x11(2)0，解得 x2，所以ab(3，1)，|ab|，选 B.321210F3 平面向量的数量积及应用12F32012上海卷 在矩形 ABCD 中，边 AB、AD 的长分别为 2、1.若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点，且满足，则的取值范围是_|BM|BC|CN|CD
7、|AMAN121,4 解析 令n(0n1)，则(1n)，在矩形 ABCD 中，BMBCDNDCAMn，ABAD(1n)，所以(n)(1n)ANADABAMANABADADAB(1n)2n243n，ABAD而函数 f(n)43n 在0,1上是单调递减的，其值域为1,4，所以的取值范围是1,4AMAN1F32012辽宁卷 已知向量 a(1，1)，b(2，x)，若 ab1，则 x( )A1 B12C. D1121D 解析 本小题主要考查向量数量积的坐标运算解题的突破口为正确运用数量 积的坐标运算公式 因为 ab(1，1)(2，x)121x1x1，所以答案选 D. 15F32012课标全国卷 已知向量
8、 a，b 夹角为 45，且|a|1，|2ab|，则10|b|_. 15答案 32解析 因为|2ab|，平方得 4a24abb210，得 44|b|b|210，解得1022 |b|3.212F32012江西卷 设单位向量 m(x，y)，b(2，1)若 mb，则 |x2y|_.12. 解析 设 c(1,2) ，则 cb，cm.| m |1，|mc|c|.5521H5、H8、F32012重庆卷 如图，设椭圆的中点为原点 O，长轴在 x 轴上，上顶 点为 A，左、右焦点分别为 F1，F2，线段 OF1，OF2的中点分别为 B1，B2，且AB1B2是 面积为 4 的直角三角形 (1)求该椭圆的离心率和标
9、准方程； (2)过 B1作直线交椭圆于 P，Q 两点，使 PB2QB2，求PB2Q 的面积21解：(1)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)，右焦点为 F2(c,0)x2a2y2b2 因AB1B2是直角三角形且|AB1|AB2|，故B1AB2为直角，从而|OA|OB2|，即 b .结合 c2a2b2得 4b2a2b2，故 a25b2，c2c24b2，所以离心率 e .ca25 5在 RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2 |B1B2|OA|OB2|OA| bb2，12c2 由题设条件 SAB1B24 得 b24，从而 a25b220.因此所求椭圆的标准方程为：1.x220y24 (2)由
10、(1)知 B1(2,0)、B2(2,0)由题意，直线 PQ 的倾斜角不为 0，故可设直线 PQ 的方程 为：xmy2.代入椭圆方程得 (m25)y24my160.(*) 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1y2.4mm2516m25又(x12，y1)，(x22，y2)，所以B2PB2Q(x12)(x22)y1y2B2PB2Q(my14)(my24)y1y2 (m21)y1y24m(y1y2)161616m21m2516m2m25，16m264m25由 PB2QB2，知0，即 16m2640，解得 m2.B2PB2Q当 m2 时，方程(*)化
11、为：9y28y160，故 y1，y2，|y1y2|，44 10944 10989 10PB2Q 的面积 S |B1B2|y1y2|.12169 10当 m2 时，同理可得(或由对称性可得)PB2Q 的面积 S.169 10综上所述，PB2Q 的面积为.169 109F32012江苏卷 如图 13，在矩形 ABCD 中，AB，BC2，点 E 为 BC 的中2点，点 F 在边 CD 上，若，则的值是_ABAF2AEBF图 139. 解析 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平2 面直角坐标系，确定点 F 的位置以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系
12、，则(，0)AB2设(x,2)，则由条件得x，得 x1，AF22从而 F(1,2)，(，1)，(1，2)，AE2BF2于是.AEBF215F32012湖南卷 如图 15，在平行四边形 ABCD 中，APBD，垂足为 P，且AP3，则_.APAC图 15 1518 解析 本题考查平面向量的数量积和向量的表示，意在考查考生对数量积的 掌握和向量相互转化能力；具体的解题思路和过程：把未知向量用已知向量来表示(2)APACAPDBBC222|18.APBCAPADAPAP易错点 本题易错一：找不到已知向量，无法把未知向量用已知向量表示；易错二：不会转化，把向量放到同一个直角三角形中；易错三：发现不了在
13、向量上的ADBCADAP射影等于|.AP13F2、F32012湖北卷 已知向量 a(1,0)，b(1,1)，则 (1)与 2ab 同向的单位向量的坐标表示为_； (2)向量 b3a 与向量 a 夹角的余弦值为_13答案 (1) (2) (3 1010，1010)2 55解析 (1)由题意，2ab(3,1)，所以与 2ab 同向的单位向量的坐标为，即(310，110).(3 1010，1010) (2)因为 a(1,0)，b(1,1)，所以 b3a(2,1)设向量 b3a 与向量 a 的夹角为 ，则 cos.b3aa|b3a|a|2，11，05 12 5510F32012广东卷 对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 .若两个非 零的平面向量 a，b 满足 a 与 b 的夹角 ，且 ab 和 ba 都在集合Error!中，则(4，2)ab( )A. B. C1 D.52321210D 解析 根据新定义得：ab (nZ)，(1)abbb|a|b|cos|b|b|a|cos|b|n2ba (mZ)，(2)baaa|a|b|cos|a|a|b|cos|a|m2以上两式相乘得：cos2(n，mZ)nm4，cos2，即(4，2)(0，12)0 时，|ab|a|b|，当 0 时
