《2014届高三数学(理)一轮总复习：第二篇 函数、导数及其应用 第10节导数的概念与计算 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高三数学(理)一轮总复习：第二篇 函数、导数及其应用 第10节导数的概念与计算 Word版含解析（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第节 导数的概念与计算【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念及运算1、2、4、10导数的几何意义3、5、7、12导数的综合应用6、8、9、11一、选择题1.(2012 湖北荆州模拟)在曲线 y=x2+1 的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+x,2+y),则为( C ) (A)x+2 (B)x-21 1 (C)x+2 (D)x-+21 解析:y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2+1-2=(x)2+2(x),=x+2,选 C. 2.(2012 宿州模拟)若 f(x)=2xf(1)+x2,则 f(0)等于( D )(A)2(B)0(C)-2 (D)-4解析:f(x)=2f(1)+2x,f(
2、1)=2f(1)+2,f(1)=-2,f(x)=2x-4,f(0)=-4.故选 D.3.(2012 济南模拟)曲线 f(x)=x2(x-2)+1 在点(1,f(1)处的切线方程为( D )(A)x+2y-1=0 (B)2x+y-1=0(C)x-y+1=0(D)x+y-1=0解析:f(1)=12(1-2)+1=0,切点坐标为(1,0).又 f(x)=3x2-4x,f(1)=-1,切线方程为 y=-(x-1),即 x+y-1=0.故选 D.4.函数 f(x)=sin2的导数是( D )(2 + 3)(A)f(x)=2sin(B)f(x)=4sin(2 + 3)(2 + 3)(C)f(x)=sin(
3、D)f(x)=2sin(4 +2 3)(4 +2 3)解析:由于 f(x)=sin2=(2 + 3)=1 (4 +2 3) 2- cos,1 21 2(4 +2 3)f(x)=4 sin=1 2(4 +2 3)2sin,(4 +2 3)故选 D.5.(2012 合肥一模)曲线 y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴围成的三角1 2形的面积为( D )(A) e2 (B)4e29 2(C)2e2 (D)e2解析:因为 f(x)=,所以曲线在点(4,e2)处的切线的斜率为 k=f(4)1 21 2= e2,切线方程为 y-e2= e2(x-4),即 e2x-y-e2=0,切线与 x 轴和 y 轴的1
4、 21 21 2交点坐标分别为 A(2,0)、B(0,-e2),则切线与坐标轴围成的OAB 的面积为 2e2=e2,故选 D.1 26.定义在 R R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1,f(x)为 f(x)的导函数,已知y=f(x)的图象如图所示,若两个正数 a、b 满足 f(2a+b) 0, 0,?阴影部分所示),而可看成(a,b)与点 P(-1,-1)连线的斜率,可求得选项 C 为所求. + 1 + 1故选 C.二、填空题7.(2012 哈尔滨模拟)等比数列an中,a1=1,a2012=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a2012),则函数 f(x)在点(0,0)处的
5、切线方程为 . 解析:f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a2012),f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a2012)+x(x-a1)(x-a2)(x-a2012)f(0)=a1a2a3a2012=(a1a2012)1006=41006=22012.f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y=22012x.答案:y=22012x8.若 为曲线 y=x3+3x2+ax+2 的切线的倾斜角,且所有 组成的集合为,则实数 a 的值为 . 4, 2)解析:设切线的斜率为 k,则 k=y=3x2+6x+a=3(x+1)2+a-3.又k=tan ,k1,+). 4, 2)当 x=-1 时,k 取
6、最小值为 a-3=1.a=4.答案:49.(2012 湖南十二校联考)若函数 y1=2sin x(x0,2)在点 P 处的切线平行于函数 y2=2( +1)在点 Q 处的切线,则直线 PQ 的斜率为 . 3解析:函数 y1=2sin x 的导数为 y1=2cos x2,故在点 P 处的切线的斜率 kP2;函数 y2=2的导数为 y2=+2=2(当且仅当(3+ 1)11x=1 时,等号成立),所以在点 Q 处的切线的斜率 kQ2.又两切线平行,故切线的斜率只能为 2,当 kP=2 时,点 P 的坐标为(0,0),当 kQ=2 时,点Q 的坐标为,故直线 PQ 的斜率 k= .(1,8 3)8 3
7、答案:8 3三、解答题10.求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x-1);(2)y=(-2)2;(3)y=x-sin cos ; 2 2(4)设 f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数 a,b,c,d,使得f(x)=xcos x.解:(1)法一 y=(2x2+3)(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.法二 y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,y=(6x3-2x2+9x-3)=18x2-4x+9.(2)y=(-2)2=x-4+4,y=x-(4)+4=1-4=1-2.1 21
8、2 1 2(3)y=x-sin cos =x- sin x, 2 21 2y=x-( sin x)=1- cos x.1 21 2(4)由已知 f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x=(ax+b)sin x+(ax+b)(sin x)+(cx+d)cos x+(cx+d)(cos x)=asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x.f(x)=xcos x,必须有 = 0, + + = ,?即a=d=1,b=c=0. = 0, = 0, = 1,
9、 + = 0?11.(2013 海口质检)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的 切线方程为 7x-4y-12=0.(1)求 f(x)的解析式;(2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.(1)解:方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3.7 4当 x=2 时,y= .1 2又 f(x)=a+ ,于是解得22 2=1 2, + 4=7 4,? = 1, = 3,?故 f(x)=x- .3 (2)证明:设 P(x0,y0)为曲线 y=f(x)上任一点,由 y=1+ 知曲线在点 P(x0
10、,y0)处的切线方程为32y-y0=(x-x0),(1 +320)即 y-=(x-x0).(03 0)(1 +320)令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为.6 0(0, 6 0)令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0).所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 |-1 2|2x0|=6.6 0故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6.12.求曲线 f(x)=x3-3x2+2x 的过原点的切线方程.解:f(x)=3x2-6x+2,设切线的斜率为 k.(1)当切点是原点时 k=f(0)=2,f(0)=0,所以所求曲线的切线方程为 y=2x.(2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0),则有 y0= -3 +2x0,3020k=f(x0)=3 -6x0+2,20又 k= -3x0+2,0020由得 x0= ,k=- .3 2001 4所以所求曲线的切线方程为 y=- x.1 4
