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1、數學傳播31卷2期, pp. 38-61不等式之基本解題方法張福春李姿霖摘要: 在數學中經常要比較有興趣的各種量之大小, 因此就需要藉助不等式的運算。證明不等式的技巧多樣化, 且方法不一。 本篇論文主要介紹數學競賽中常見的基本不等式, 與探討證明不等式時經常使用的解題方法。關鍵詞: 不等式、 公理、 三一律、 遞移律、 加法律、 乘法律、 解題方法、 算幾不等式、柯西不等式、 排序不等式、 柴比雪夫不等式、 布奴利不等式、 三角不等式、 詹森不等式、 變數代換法、 數學歸納法、 放縮法、 因式分解法、 配方法、 比較法、 反證法、 變形法、 幾何法。美國數學會2000年分類索引: 主要26D。
2、一. 前言數學是以公理和定義為基礎, 經過證明而得到定理。 而不等式的基本公理 (axiom) 只有下面四個: 假設 a,b,c 皆為實數。公理1 (三一律, trichotomy axiom): 則 a,b 只可能有下面關係之一種: a b, a b 且 b c, 則 a c。公理3 (加法律, additive axiom): 若 a b, 則 a + c b + c。公理4 (乘法律, multiplicative axiom): 若 a b 且 c ( ( 1, 且 r 1 或 r 0, 則(1 + a)r 1 + ar,等號成立若且唯若 r = 0 或 r = 1。在上述布奴利不等式
3、中, 若r的範圍為0 0, 且 n 為正整數, 所以 ? 1 +1 n?n 1 +1 n n = 2.2.6. 三角不等式 (triangle inequality)定理 2.6 (三角不等式): 設 a = (a1,a2,.,an) 和b = (b1,b2,.,bn) 為兩個向量, 則| a| |b| | a +b| | a| + |b|,第一個等號成立若且唯若 a 和b 為反向的向量, 第二個等號成立若且唯若 a 和b 為同向的向量。從幾何角度來看, 上式右邊不等式即三角形中任兩邊長的和大於第三邊長, 左邊不等式即三角形中任兩邊長的差小於第三邊長。例 2.6: 對任意四邊形 ABCD, 求
4、證AB + BC + CD AD.證明: 這裡只證明當 ABCD 為一凸四邊形時, 凹四邊形的證明相同, 故省略。 畫一補助凸四邊形 ABCD 如圖 2.144數學傳播31卷2期 民96年7月ABCD圖 2.1. 凸四邊形若做B、D補助線, 則四邊形ABCD可分成兩個三角形ABD與BCD, 利用三角不等式AB + BD AD(2.2)BC + CD BD(2.3)將 (2.3) 左右加上AB, 則有AB + BC + CD AB + BD(2.4)又由 (2.2) 與 (2.4), 得證AB + BC + CD AD.2.7. 詹森不等式 (Jensen inequality)在介紹詹森不等式
5、之前, 先定義何謂 (嚴格) 凸函數 (convex function)。 一函數 f 稱為在區間 I R 上的 (嚴格) 凸函數, 若滿足 a1,a2 I 皆為實數, 0 ) 0, 則 f(x) 在 I 上為一 (嚴格) 凸函數。 反之, 若 x 在 I 區間上滿足 f(x)( 2n + 1.證明: 當 n = 3 時, 8 = 23 2 3 + 1 = 7, 因此不等式成立。 假設當 n = k 時, 不等式亦成立, 即2k 2k + 1.考慮當n = k + 1時, 則 2k+1= 2 2k= 2k+ 2k。 因為當 k 1 時, 2k 2, 因此2k+1= 2k+ 2k (2k + 1
6、) + 2 = 2(k + 1) + 1.故對所有 n 3, 得知 2n 2n + 1。3.3. 放縮法 (method of stretching)證明不等式時, 放大或縮小一些項的方法稱為放縮法。 例如, 若要證 A B, 一種方式是:借助於一個或多個中間量 C 來比較。 換句話說, 若有某種方法能斷定 A C, 就可以試著去證明 C B。 則由不等式的遞移律即得 A B。 這是一種把 A 放大的方法, 不過可能由於放大得太多, 以致 C B 不成立, 那就只有另行設法。 當然也可以採用把 B 縮小的辦法。 其過程可用圖 3.1 表示A C1 C2 |z B?圖 3.1. 放縮法而另一種方
7、式是將A分解為多項的和 (或乘積), 即A = A1+ A2+ + An(或 A =A1 A2 An), A1 0,A2 0,.,An 0, 若我們可以證明A1 B1,A2B2,.,An Bn, 則逐項相加 (或相乘), 可得A = ni=1Ai ni=1Bi(或A = n i=1Aini=1Bi), 再利用上述的方式, 試著證明n i=1Bi(或n i=1Bi) B, 即得A B。 其過程可用下 圖表示A Pni=1Ai,Pni=1Bi B或A Qni=1Ai,Qni=1Bi B A1 B1 .An Bn A B.48數學傳播31卷2期 民96年7月例 3.3: 設 a1,a2,.,an是
8、n 個互不相同的正整數, 且 n 1, 求證1 a21+1 a22+ +1 a2n1, |b| 1, |c| 1, 求證a2+ b2+ c2 a2b2 b2c2 c2a2+ a2b2c2 1 0.不等式之基本解題方法49證明: 將原不等式重新排序, 得(a2 a2b2 c2a2+ a2b2c2) + (b2+ c2 b2c2 1)= a2(1 b2 c2+ b2c2) (1 b2 c2+ b2c2)= (a2 1)(1 b2 c2+ b2c2)= (a2 1)(b2(c2 1) (c2 1)= (a2 1)(b2 1)(c2 1) 0(3.6)(3.6) 由於|a| 1,|b| 1,|c| 1
9、, 因此a2 1,b2 1,c2 1。3.5. 配方法 (method of completing square)配方就是把某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和之形式。 通過配方解決數學問題的方法就叫配方法, 其中最常用的是配成完全平方式。 而在不等式的證明中, 常會利用到“平方數非負”的性質。例 3.5: 設 a,b 皆為實數, 求證a2 3ab + 3b2 0.證明: 將不等式左式配成一完全平方式, 得a2 3ab + 3b2= a2 3ab +9 4b2+3 4b2=? a 3 2b?2 +3 4b2 0.3.6. 比較法 (method of comparison)比較法通常有兩種
10、形式1. 差值比較法: 欲證 A B, 只需證 A B 0。2. 商值比較法: 由乘法保序性, 若 B 0, 欲證 A B, 只需證A B 1。例 3.6: 設 a,b,c 皆為不小於 1 的實數, 求證(1 + a)(1 + b)(1 + c) 2(1 + a + b + c).50數學傳播31卷2期 民96年7月證明:左式 右式 = (1 + a)(1 + b)(1 + c) 2(1 + a + b + c)= 1 + a + b + c + ab + bc + ac + abc 2(1 + a + b + c)= (ab a) + (bc c) + (ac 1) + (abc b)(3.
11、7)= a(b 1) + c(b 1) + (ac 1) + b(ac 1)(3.8)= (a + c)(b 1) + (b + 1)(ac 1)(3.9) 0(3.10)展開合併同類項得 (3.7), 再將每個括號提出公因式得 (3.8), 而因式分解得 (3.9), 又因 a,b,c皆為不小於1的實數, 因此 b 1 0 且 ac 1 0, 所以 (3.10) 成立。3.7. 反證法 (method of contradiction)反證法是一種間接證法, 它先假設結論不真, 於是提出一個與命題的結論相反之假設, 從這個假設出發, 經過正確的推理, 導致矛盾, 從而否定相反的假設, 達到肯
12、定原命題為真的一種方法。 導出矛盾的過程沒有固定的模式, 但必須從反設出發, 而種類有以下幾種: 與已知條件矛盾; 與已知的公理、 定義矛盾; 與反設矛盾; 自相矛盾等。例 3.7: 設 a,b 皆為正實數, 且滿足 a3+ b3= 2, 求證a + b 2.證明: 反設 a + b 2, 因此 a 2 b。 我們想要得到與 a3+ b3= 2 矛盾, 所以從反設出發, 其過程如下a3+ b3 (2 b)3+ b3(3.11)= 8 b3+ 6b2 12b + b3= 6b2 12b + 8= 6(b 1)2+ 2(3.12) 2.(3.11) 由反設條件 a 2 b 可得, 再將 (3.11
13、) 展開配方得 (3.12)。 因此 a3+ b3 2, 與題意矛盾。 即反設 a + b 2 不成立, 因此我們有 a + b 2。不等式之基本解題方法513.8. 變形法 (method of deformation)此種方法不是直接對問題進攻, 而是採取迂迴策略。 當所求問題無法直接求得, 或是太過於複雜時, 則需要對問題由未知向已知進行變形。 將原始問題Q, 變形為問題Q, 其過程可由圖3.2 表示?Q?Q?A?A?圖 3.2. 變形法例 3.8: 設 a,b,c 皆為實數, 且滿足 a + b + c = 0 與 abc = 8, 求證1 a+1 b+1 c0。3.9. 幾何法 (g
14、eometric method)幾何法是一種輔助方法, 將原來的不等式透過適當的圖形及幾何的性質來幫助解題。例 3.9: 設 0 BD BC, 所以x sinx。 又因為扇形 OBD面積= x 2=x 2, 且三角形 OAD面積=tanx 2, 由圖形得知tanx 2= 三角形 OAD 面積 扇形 OBD面積 =x 2.因此tanx x, 故sinx 0 上連續可微, 則f(x) = 12x3/2,f(x) =3 4x5/2.當x 0時, f(x) 0, 所以f(x)為凸函數。 假設x1= a2+8bc,x2= b2+8ca,x3= c2+8ab,根據詹森不等式得af(x1) + bf(x2)
15、 + cf(x3) f(ax1+ bx2+ cx3).不等式之基本解題方法53因此 aa2+ 8bc+bb2+ 8ac+cc2+ 8ab1a3+ b3+ c3+ 24abc.利用放縮法, 若可證明1a3+ b3+ c3+ 24abc 1.(4.1)即可證明原不等式。 因為a + b + c = 1, 所以1 = (a + b + c)3= a3+ b3+ c3+ 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc. (4.2)利用算幾不等式a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b 66 a6b6c6 a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b 6abc(4.3)由 (4.2) 與 (4.3), 可得1 a3+ b3+ c3+ 24abc.(4.4)將 (4.4) 開根號再取倒數, 即得 (4.1)。 故aa2+ 8bc+bb2+ 8ac+cc2+ 8ab1a3+ b3+ c3+ 24abc
