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1、平面几何中几个重要定理及其证明平面几何中几个重要定理及其证明一、一、 塞瓦定理塞瓦定理1 1塞瓦定理及其证明塞瓦定理及其证明定理定理：在 ABC 内一点 P，该点与 ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交 ABC 三边AB、BC、CA 于点 D、E、F，且D、E、F 三点均不是 ABC 的顶点，则有1AD BE CF DB ECFA证明证明：运用面积比可得ADCADPBDPBDCSSAD DBSS根据等比定理有，ADCADCADPAPCADPBDPBDCBDCBDPBPCSSSSS SSSSS所以同理可得，APCBPCSAD DBSAPBAPCSBE ECSBPCAPBSCF FAS三式相
2、乘得1AD BE CF DB ECFA注注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底” ，这样就可以产生出“边之比” 2 2塞瓦定理的逆定理及其证明塞瓦定理的逆定理及其证明A B C D E F P 定理定理：在 ABC 三边 AB、BC、CA 上各有一点D、E、F，且 D、E、F 均不是 ABC 的顶点，若，那么直线1AD BE CF DB ECFACD、AE、BF 三线共点证明证明：设直线 AE 与直线 BF 交于点 P，直线 CP 交 AB 于点 D/，则据塞瓦定理有/1ADBE CF D B ECFA因为 ，所以有由于点1AD BE CF DB ECFA/ADAD
3、 DBD BD、D/都在线段 AB 上，所以点 D 与 D/重合即得D、E、F 三点共线注注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证二、二、 梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理3 3梅涅劳斯定理及其证明梅涅劳斯定理及其证明定理定理：一条直线与 ABC 的三边 AB、BC、CA 所在直线分别交于点 D、E、F，且 D、E、F 均不A B C D E F P D/ A B C D E F G是 ABC 的顶点，则有1ADBECF DBECFA证明证明：如图，过点 C 作 AB 的平行线，交 EF 于点 G因为 CG / AB，所以 （1）CGCF ADFA因为 CG / AB，所以 （2）CGE
4、C DBBE由（1）（2）可得，即得DBBE CF ADEC FA1AD BE CF DB ECFA注注：添加的辅助线 CG 是证明的关键“桥梁” ，两次运用相似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁” （CG）使得命题顺利获证4 4梅涅劳斯定理的逆定理及其证明梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理定理：在 ABC 的边 AB、BC 上各有一点 D、E，在边AC 的延长线上有一点 F，若，1AD BE CF DB EC FA那么，D、E、F 三点共线证明证明：设直线 EF 交 AB 于点D/，则据梅涅劳斯定理有A B C D E F D/ /1ADBE CF D B ECFA因为 ，所以有由于点1AD B
5、E CF DB EC FA/ADAD DBD BD、D/都在线段 AB 上，所以点 D 与 D/重合即得D、E、F 三点共线注注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律三、三、 托勒密定理托勒密定理5 5托勒密定理及其证明托勒密定理及其证明定理定理：凸四边形 ABCD 是某圆的内接四边形，则有ABCD + BCAD = ACBD证明证明：设点 M 是对角线 AC 与 BD 的交点，在线段 BD上找一点，使得DAE =BAM因为ADB =ACB，即ADE =ACB，所以 ADEACB，即得，即 （1）ADDE ACBCAD BCAC DE由于DAE =BAM，所以DA
6、M =BAE，即DAC A B C D EM=BAE。而ABD =ACD，即ABE =ACD，所以ABE ACD即得，即 （2）ABBE ACCDAB CDAC BE由（1）+（2）得AD BCAB CDAC DEAC BEAC BD所以 ABCD + BCAD = ACBD注注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试6 6托勒密定理的逆定理及其证明托勒密定理的逆定理及其证明定理定理：如果凸四边形 ABCD 满足 ABCD + BCAD = ACBD，那么 A、B、C、D 四点共圆证法证法 1 1（同一法）：在凸四边形 ABCD
7、内取一点 E，使得，EABDAC ，则EBADCA EABDAC可得 ABCD = BEAC （1）且 AEAB ADAC（2）A B C D E 则由及（2）可得于是DAECAB DAECAB有ADBC = DEAC （3）由（1）+（3）可得 ABCD + BCAD = AC( BE + DE )据条件可得 BD = BE + DE，则点 E 在线段 BD 上则由，得，这说明EBADCA DBADCA A、B、C、D 四点共圆证法证法 2 2（构造转移法）延长 DA 到 A/，延长 DB 到 B/，使 A、B、B/、A/四点共圆延长 DC 到 C/，使得B、C、C/、B/四点共圆 （如果能
8、证明 A/、B/、C/共线，则命题获证）那么，据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆因此，/A BA D ABBD/B CC D BCBD可得 ./ /ABA DBCC DA BB CBDA B C D A/ B/ C/ 另一方面，即/A CA D ACCD/ /ACA DA CCD欲证=，即证/ABA DBCC D BD/ACA D CD/AB CDA DBCCD C DACBDA D即 /()BCCD C DACBDAB CD A D据条件有 ，所以需证ACBDAB CDADBC，/BCCD C DADBCA D即证，这是显然的所以，/CD C DADA D，即 A/、B/、C/共线所以
9、与/A BB CA C/A B B互补由于，/BB C/A B BDAB /BB CDCB 所以与互补，即 A、B、C、D 四点共圆DABDCB7 7托勒密定理的推广及其证明托勒密定理的推广及其证明定理定理：如果凸四边形 ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有ABCD + BCAD ACBD证明证明：如图，在凸四边形 ABCD 内取一点 E，使得，EABDAC ，则EBADCA EABDAC可得 ABCD = BEAC （1）A B C D E 且 （2）AEAB ADAC则由及（2）可得于DAECAB DAECAB是ADBC = DEAC （3）由（1）+（3）可得 ABCD + BC
10、AD = AC( BE + DE )因为 A、B、C、D 四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知ABCD + BCAD ACBD所以 BE + DE BD，即得点 E 不在线段 BD 上，则据三角形的性质有 BE + DE BD所以 ABCD + BCAD ACBD四、四、 西姆松定理西姆松定理8 8西姆松定理及其证明西姆松定理及其证明定理定理：从ABC 外接圆上任意一点 P 向 BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分别为 D、E、F，则 D、E、F 三点共线证明证明：如图示，连接 PC，连接 EF 交 BC 于点 D/，连接 PD/A B C P E F D 因为 PEAE，PFAF，所以
11、A、F、P、E 四点共圆，可得FAE =FEP因为 A、B、P、C 四点共圆，所以BAC =BCP，即FAE =BCP所以，FEP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E 四点共圆所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即 PD/BC由于过点 P 作 BC 的垂线，垂足只有一个，所以点 D与 D/重合，即得 D、E、F 三点共线注注：（1）采用同一法证明可以变被动为主动，以便充分地调用题设条件但需注意运用同一法证明时的唯一性（2）反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键，要掌握好四点共圆的运用手法五、五、 欧拉定理欧拉定理9 9欧拉
12、定理及其证明欧拉定理及其证明定理定理：设 ABC 的重心、外心、垂心分别用字母 G、O、H 表示则有 G、O、H 三点共线（欧拉线） ，且ABCDOEH满足3OHOG证明（向量法）证明（向量法）：连 BO 并延长交圆 O 于点 D。连接CD、AD、HC，设 E 为边 BC 的中点，连接 OE 和 OC则 AHOAOH因为 CDBC，AHBC，所以 AH / CD同理 CH / DA所以，AHCD 为平行四边形从而得而，所以 DCAH OEDC2 OEAH2因为，所以 OCOBOE21 OCOBAH由得： OCOBOAOH另一方面， GCGBOAGFOAAGOAOG2而，所以 OCGOGCOBG
13、OGB， OCOBOAOGOBOCGOOAOG312由得：结论得证 OGOH3注注：（1）运用向量法证明几何问题也是一种常用方法，而且有其独特之处，注意掌握向量对几何问题的表现手法；（2）此题也可用纯几何法给予证明又证（几何法）又证（几何法）：连接OH，AE，两线段相交于点 G/；连 BO 并延长交圆 O 于点 D；连接 CD、AD、HC，设 E 为边 BC的中点，连接 OE 和 OC，如图因为 CDBC，AHBC，所以 AH / CD同理 CH / DA所以，AHCD 为平行四边形可得 AH = CD而 CD = 2OE，所以 AH = 2OE因为 AH / CD，CD / OE，所以 AH
14、 / OE可得AHG/EOG/所以/2 1AHAGHG OEG EG O由，及重心性质可知点 G/就是ABC 的重心，/2 1AG G E即 G/与点 G 重合所以，G、O、H 三点共线，且满足3OHOG六、六、 蝴蝶定理蝴蝶定理1010蝴蝶定理及其证明蝴蝶定理及其证明定理定理：如图，过圆中弦 AB 的中A B C D E F P Q M C/ F/ Q/ ABCDOEHG 点 M 任引两弦 CD 和 EF，连接 CF 和 ED，分别交 AB 于P、Q，则 PM = MQ证明：证明：过点 M 作直线 AB 的垂线 l，作直线 CF 关于直线 l 的对称直线交圆于点 C/、F/，交线段 AB 于点 Q/连接FF/、DF/、Q/F/、DQ/据圆的性质和图形的对称性可知：MF/Q/ =MFP，F/Q/M =FPM；且 FF/ / AB，PM = MQ/因为 C、D、F/、F 四点共圆，所以CDF/ +CFF/ = 1800，而由 FF/ / AB 可得Q/PF +CFF/ = 1800，所以CDF/ =Q/PF，即MDF/ =Q/PF又
