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1、- 1 -关于发展学生数学思维的教学思考及其策略研究关于发展学生数学思维的教学思考及其策略研究上海市三新学校 唐连青现代数学教学论认为，数学教学是数学思维活动的教学。所谓数学思维，就是以数和形为思维的对象，以数学的语言和符号为思维的载体，并以认识和发展数学规律为目的的一种思维。作为数学教学，揭示数学思维的过程，培养学生的思维能力，始终是其核心目标和首要任务。国家数学课程标准指出：要倡导有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。分析学生从事这些具体数学活动的方式，其前提条件都与学生的数学思维有关。数学是思维的产物，任何数学知识都是思维的结晶，离开了数学思维活动，也就无所谓
2、数学学习。可见，发展学生的数学思维，提高学生的数学思维能力，在数学教学中有着极其重要的地位和价值。下面就结合自己在小学数学教学中的实践，谈谈新课程理念下如何发展学生数学思维的几点思考及其具体做法，以供同行参考。一、创设问题情境，激发学生的思维动机。一、创设问题情境，激发学生的思维动机。国家数学课程标准指出：要让学生在现实的情境中体验和理解数学，并提出了课程内容的呈现以及学生学习过程的主要模式，即“问题情景建立模型解释与应用” 。作为教师的重要责任就在于根据学生、教学内容、教学环境的具体情况提供一种现实而有吸引力的学习背景。而问题情境（景）的创设正体现了这一教学的理念与要求。所谓问题情境是指主体
3、为达到某一活动目的时，所遇到的某种困难和障碍时的心理困境。它能促使学习个体产生认知冲突，产生困惑、矛盾等情绪体验。亚里士多德曾说：“思维自疑问与惊奇开始。 ”创设良好的问题情境，有利于将数学抽象的内容依附于现实的背景之中，数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验和常识的系统化，可以在学生的生活背景中找出实际模- 2 -型。现实的背景常常为数学知识的发生、发展提供情境和源泉。小学数学教学中创设良好的问题情境，有利于引发学生的认知冲突，点燃思维的火花，激发学生主动探究、积极思维的动机。例如：教学圆的初步认识时，我们吸收了同行老师实践的经验，在导入环节上创设了如下的问题情境而展开教学：
4、1、教师媒体出示：有 10 个小朋友站成一行，做套花游戏，比谁先套到这朵花（图略） ，对这样的比赛你有什么想法？生 1：这样比赛不公平。师：那你认为小朋友应该怎样站才是公平的？2、师根据学生回答出示围成的圆形（图略） ，问：为什么要站成圆形呢？生：站成圆形，可以使每人到花的距离相等。3、揭示课题。这种生活化的问题情境，激起了学生的生活体验，打破了原有的认知平衡，从而促使学生自觉用数学的思维方式来观察和解决生活中的实际问题。套花游戏规则的重新设计，对学生来说，虽具有一定的挑战性，但有着学生实际生活的体验。对学生来说，数学知识并不是“新知识” ，在一定程度上是一种“旧知识” 。在他们的生活中已经有
5、许多数学知识的体验，课堂上的数学学习是他们生活中的有关数学现象和经验的总结与升华，每一个学生都从他们现实的数学世界出发与教材内容发生相互作用，建构自己的数学知识的。因而学生能从自己的已有的知识背景与生活经验出发，迅速投入实际情境中，从游戏规则的公平性出发，发现只要每人到花（圆心）的距离相等就行，自然形成站成圆形的观点，并且从直觉上解释为什么要站成圆形，这里孕伏着圆的特征，为后继教学打下了伏笔。从中我们不难发现：创设问题情境，实际上是通过问题情境这个思- 3 -维载体，让所探索的数学问题隐含在问题情境之中，或者是将数学问题迁移、引伸到社会实际问题中去，打破学生原有的认知平衡，激活学生的思维动机，
6、激起学生探求新知的欲望。二、借助知识的建构与运用，渗透数学思维方法。二、借助知识的建构与运用，渗透数学思维方法。数学学习作为特殊的认识过程，有其自身的一些特点，但它仍遵循着认识活动的一般规律。学生由感知获得感性材料，通过分析、综合、抽象、概括等上升到理性认识，从而领会或掌握数学的规律和本质，这其间靠的就是数学思维；同样，把数学理论应用于解决问题，靠的也是数学思维。可见，数学学习与思维发展有密切关系：一方面，数学学习要以学生一定的思维发展水平为前提；另一方面，数学学习又能大力促进思维的发展。从这个意义上说， “数学学习与其说是学习数学知识，倒不如是学习数学思维活动” （曹才翰、蔡金法：数学教育学
7、概论 ） 。学习认知理论认为，数学学习过程是一个数学认知过程，若按其学习内容来划分，可分为数学知识的学习、数学技能的学习和数学问题的解决的学习等。但从广义的知识出发，数学学习就是对数学知识的建构与应用的过程。数学思维方法是思维活动中思维主体对思维对象实行加工的方式、程序和手段。可见，数学思维方法是数学思维的工具，是由思维起点到达思维目的的桥梁。从分析数学学习活动情况可知，经常在小学数学教学中所参与的一般的科学思维方法，主要有观察与实验、比较与分类、抽象与概括、具体化与系统化以及逻辑推理方法（指归纳、演绎、类比）等。这些方法是数学思维过程中运用的基本方法，所以也可称为数学思维的一般方法。这些思维
8、方法不是学生头脑中所固有的，而是学生在数学学习过程中逐步感悟、形成和内化的结果，其集中体现在学生对数学知识的建构与应用的过程中。【知识的建构与思维方法】国家数学课程标准指出：学生数学- 4 -学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程，充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动。例如：三角形面积公式的推导，是体现探究学习的一个比较典型的案例。在教学实践中，对于计算公式的获得教师引导学生经历以下的学习过程：“提出问题动手操作观察思考抽象概括推导公式” ，在知识的再发现中而加以建构。我们在教学实践中以三角形的分类知识为基础，通过归纳思维的教学模式，引导学生把两个完全一样的锐
9、角三角形、直角三角形和钝角三角形拼成长方形或平行四边形，继而引导学生观察、分析每一类三角形与各自转化的图形之间的关系，从而归纳得出任意三角形的面积是所在图形面积的一半，从而推导出三角形面积的计算公式。分析上述的探究活动，其教学模式是著名课程论专家塔巴所倡导的归纳思维教学模式，她认为“思维是可教的” ，并把它确定为关于思维的三条基本原理之一，旨在发展学生的思维能力。由此我们不难发现，在教师引导学生对所研究的知识进行建构的过程中，体现了分类、归纳、概括等思维方法，同时又蕴涵了猜测、可能性等数学研究方法。【知识的应用与思维方法】重视数学应用的教学，将应用意识和应用能力放在重要的地位上，有助于帮助学生
10、对数学的内容、思想和方法有一个直观生动而深刻的理解，有助于促进、培养学生用以分析问题和解决问题的思维方式。例如：教学质数和合数 ，当学生获得了质数和合数的概念后，有经验的教师通过组织一定的练习而进一步理解、巩固新概念，这属于知识的应用阶段。但不同版本的教材对于 100 以内质数表在内容呈现与教学处理上有所不同。在内容呈现上：有的教材直接给出100 以内的质数表；有的教材提供了获得质数表的素材。在教学处理上：有的教师十分“忠于”教材而直接把知识呈现给学生；还有- 5 -的教师只是按题目的要求让学生划去合数，仅仅充当“操作工”而已，两种情形中学生的意识和思维并没有真正参与进去。在新课程理念的指导下
11、，我们对这一知识在内容呈现上进行了一定的变动，作为知识的应用而展开教学：题目：你能找出下面 1100 这 100 个数中所有的质数吗？每人发一张练习纸，将这 100 个数每 10 个数一行，排成 10 行。先让学生自主探究，动手试一试，再小组交流：你发现怎样能很快地找出 100 以内所有的质数？并共同完成制作 100 以内的质数表。从练习反馈的情况看：有的小组是根据质数和合数的概念逐一加以验证；有的小组应用了一定的规律，先划去 2 的倍数，再划去3、5、7 的倍数（但 2、3、5、7 本身不划去） ，并说明了这样做的理由；有的小组是把 100 个数分成诸如 120、2140、41-60、618
12、0、81100 等几组，再每人分工寻找质数。这一练习环节中虽然寻找质数的方法有所不同，认知的方式有差异，认知的水平有高低，但小组中的每个个体都经历了寻找质数的过程，都进行了积极的思维活动，感受到古老的“筛法” ；更可贵的是，有的小组活动产生了科学研究中“分工合作”的雏形，这是当今科学研究的重要形式与方法之一，它培养了学生有效的合作能力，同样促进了学生思维的发展。三、优化练习设计，培养学生的思维品质。三、优化练习设计，培养学生的思维品质。数学思维具有一般思维的特征，也具有自身的个性特征。这些个性特征即为数学思维的品质。数学思维品质是衡量学生数学思维质量的重要指标，它决定了学生的数学思维能力。因此
13、小学数学教学中同样要重视对学生良好思维品质的培养。数学思维品质主要是指思维的广阔性、深刻性、灵活性、批判性和独立性等。练习是小学课堂教学的重要组成部分，是学生学习过程中不可缺少的重要环节，是学生掌握知识，形成技能，发展智力的重要手段，也是挖掘- 6 -学生创新潜能的有效载体。要使练习真正体现“打好基础、促进发展、反馈教学”的目的，教师必须高度重视数学学习训练系统的组建，优化练习设计。根据上海市数学新课程标准对练习训练的要求，即重视基础性训练与发展性训练的合理搭配，重视理解性训练与探索性训练的协调互补。反思自己的教学行为，我们意识到以往比较注重基础性训练和理解性训练的习题设计，而忽视发展性训练和
14、探索性训练的习题设计。在学习、贯彻新课程理念和要求的过程中，我们对后者重点进行了研究和探索，积累了一些经验，如适当采取了以下的习题设计策略：变封闭题为开放题；变常规题为非常规题；变动脑题为手脑并用题等。这对培养学生的思维品质，促进学生的数学思维，起到了很好的作用。下面就通过练习设计培养学生思维的广阔性、深刻性和批判性为例作些简要说明。【思维的广阔性】即思维的广度，是探索问题的能力。它主要表现在能多方面、多角度去思考问题，善于发现事物之间的多方面的联系，找出多种解决问题的方法，并能把它推广到类似的问题之中。在数学习题设计和解题时常表现为“一题多解”或“一法多用”等形式。下面的习题，在训练时教师要
15、求学生用不同的方法解答，体现了解题策略的开放性，有利于提高学生的思维的广阔性，促进学生数学思维的发展。如图所示：一个平行四边形的面积是 45 平方米，求阴影部分的面积。学生提出了以下几种解决方法：A、 （455-6）52=7.5m2B、(45-56)2=7.5m25m6m5m6m- 7 -C、452-562=7.5m2对同一问题情境提出不同层次的问题或设计开放性问题，可以使不同的学生得到不同的发展。对于开放性问题，广大教师已达成了共识，其主要表现为条件性开放、结论性开放、解题策略的开放以及综合性开放等形式。变封闭题为开放题有助于训练学生的思维品质，提高学生的数学思维能力。【思维的深刻性】即思维
16、的深度，是发现和辨别事物本质的能力。它表现在能深入地钻研与思考问题，善于从复杂的事物中把握它的本质，而不被表面现象所迷惑，特别是能在学习中克服思维的表面性、绝对化与不求甚解的毛病。下面的“行程问题”的设计改变了原来常规的叙述方式，体现了一定的情趣性，习题设计由常规性走向了一定的非常规性。例如：小明和小华两家相距 1100 米，小明带了小狗与小华同时从自己家里出发相向而行。在行进中，小狗与小华相遇后，立即返回；小狗和小明相遇后，立即返回，直至小明与小华相遇为止。若小明步行速度为每分钟 50 米，小华步行速度为每分钟 60 米，小狗速度为每分钟 100 米。那么，在小明与小华相遇时，小狗跑了多少米？本题如果考虑小狗每次遇到小明和小华所奔跑的距离，那么问题就变得非常复杂而陷入困境。如果学生认识到探求小狗所化的时间是关键，再洞察到小狗跑路的时间就是小明和小华相遇的时间，则问题就迎刃而解。即先求出小狗行走的时间：1100(60+50)=100（分钟） ，再求出小狗跑的路程：100100=10000（米） 。因此本题
