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1、第 1 页 共 34 页导数压轴题题型归纳导数压轴题题型归纳1. 高考命题回顾高考命题回顾例例 1 已知函数 f(x)exln(xm)（2013 全国新课标卷）(1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m2 时，证明 f(x)0.例例 2 已知函数 f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y4x+2（2013 全国新课标卷）（）求 a，b，c，d 的值（）若 x2 时, ( )( )f xkg x，求 k 的取值范围。例例 3 已知函数满足（2012 全国新课标）)
2、(xf21 21)0() 1 ( )(xxfefxfx(1)求的解析式及单调区间；)(xf(2)若，求的最大值。baxxxf2 21)(ba) 1( 例例 4 已知函数ln( )1axbf xxx，曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230xy。（2011 全国新课标）（）求a、b的值；（）如果当0x ，且1x 时，ln( )1xkf xxx，求k的取值范围。例例 5 设函数（2010 全国新课标）2( )1xf xexax (1)若，求的单调区间；0a ( )f x(2)若当时，求的取值范围0x ( )0f x a例例 6 已知函数 f(x)(x3+3x2+ax+b)ex. （
3、2009 宁夏、海南）(1)若 ab3,求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)在(,),(2,)单调增加,在(,2),(,+)单调减少,证明 6.2. 在解题中常用的有关结论在解题中常用的有关结论(1)(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。( )yf x0x x()0fx000()()()yfxx xf x(2)(2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。( )yf x0xx0()0fx(3)(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。( )f x( )fx00( )f x(4)(4)函数在区间 I 上递增（减）的充要条件是：恒成立（ 不恒为 0）.( )f x
4、x I ( )fx0( 0)( )fx(5)(5)函数（非常量函数）在区间 I 上不单调等价于在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程在区间 I 上( )f x( )f x( ) 0fx有实根且为非二重根。（若为二次函数且 I=R，则有）。( )fx0 (6)(6) 在区间 I 上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在 I 上恒成立( )f x( )f x( )fx0( )fx0(7)(7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则x I ( )f x0min( )f x0x I ( )f x0max( )f x0(8)(8)若，使得，则；若，使得，则.0xI()0f x0max( )f x00
5、xI0()f x0min( )f x0(9)(9)设与的定义域的交集为 D，若D 恒成立，( )f x( )g xx( )( )f xg x则有.min( )( )0f xg x(10)(10)若对、 ，恒成立，则.11xI22xI12()()f xg xminmax( )( )f xg x若对，使得,则.11xI22xI12()()f xg xminmin( )( )f xg x若对，使得，则.11xI22xI12()()f xg xmaxmax( )( )f xg x（1111）已知在区间上的值域为 A,，在区间上值域为 B，( )f x1I( )g x2I若对,，使得=成立，则。11xI
6、22xI1()f x2()g xAB(12)(12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于 0，极小值小于 0.( )0fx12xx、(13)(13)证题中常用的不等式: ln1 (0)xxx1x xln+1(1)xx x （） 1xex 1xex ln1(1)12xxxx22ln11(0)22xxxx第 2 页 共 34 页3. 题型归纳题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例例 7（构造函数，最值定位）（构造函数，最值定位）设函数(其中). 21xf xxekxkR() 当时,求函数的单调区间;1k f x() 当时,求函数在上的最大值.1,12
7、k f x0,kM例例 8（分类讨论，区间划分）（分类讨论，区间划分）已知函数,为函数的3211( )(0)32f xxaxxb a( )fx( )f x导函数. (1)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是,求的33yx, a b值;(2)若函数,求函数的单调区间.( )( )axg xefx( )g x例例 9（切线）（切线）设函数axxf2)(.（1）当1a时，求函数)()(xxfxg在区间 1 , 0上的最小值；（2）当0a时，曲线)(xfy 在点)(,(111axxfxP处的切线为l，l与x轴交于点)0 ,(2xA求证：axx21.例例
8、 10（极值比较）（极值比较）已知函数22( )(23 )(),xf xxaxaa exR其中aR当0a 时，求曲线( )(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当2 3a 时，求函数( )f x的单调区间与极值.例例 11（零点存在性定理应用）（零点存在性定理应用）已知函数( )ln , ( ).xf xx g xe若函数 (x) = f (x)1 1x x+ -，求函数 (x)的单调区间；设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间(1,+)上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切例例1
9、2（最值问题，两边分求）（最值问题，两边分求）已知函数1( )ln1af xxaxx()aR.当1 2a 时，讨论( )f x的单调性；设2( )24.g xxbx当1 4a 时，若对任意1(0,2)x ，存在21,2x ，使12()()f xg x，求实数b取值范围.例例13（二阶导转换）（二阶导转换）已知函数xxfln)(若)()()(RaxaxfxF ，求)(xF的极大值；若kxxfxG2)()(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数 k 的取值范围.例例 14（综合技巧）（综合技巧）设函数1( )ln ().f xxax aRx讨论函数( )f x的单调性；若( )f x有两个极值点1
10、2,x x，记过点11( ,(),A xf x22(,()B xf x的直线斜率为k,问：是否存在a，使得2ka？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.第 3 页 共 34 页交点与根的分布交点与根的分布例例 15（切线交点）（切线交点）已知函数 323,f xaxbxx a bR在点 1,1f处的切线方程为20y求函数 f x的解析式；若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,x x都有 12f xf xc，求实数c的最小值；若过点若过点2,2Mmm 可作曲线可作曲线 yf x的三条切线，求实数的三条切线，求实数m的取值范的取值范围围例例 16（根的个数）（根的个数）已知函数xxf)(，
11、函数xxfxgsin)()(是区间-1，1上的减函数.（I）求的最大值；（II）若 1 , 11)(2xttxg在上恒成立，求 t 的取值范围；（）讨论关于）讨论关于 x 的方程的方程mexxxfx2)(ln2的根的个数的根的个数例例 17（综合应用）（综合应用）已知函数.23)32ln()(2xxxf求 f(x)在0,1上的极值；若对任意03)(ln|ln|,31,61xxfxax不等式 成立，求实数 a 的取值范围；若关于 x 的方程bxxf2)(在0，1上恰有两个不同的实根，求实数 b 的取值范围.不等式证明不等式证明例例 18(变形构造法变形构造法)已知函数1)(xax ，a 为正常数
12、若)(ln)(xxxf，且 a29 ，求函数)(xf的单调增区间；在中当0a时，函数)(xfy 的图象上任意不同的两点11, yxA，22, yxB，线段AB的中点为),(00yxC，记直线AB的斜率为k，试证明：)(0xfk若)(ln)(xxxg，且对任意的2 , 0,21xx，21xx ，都有1)()(1212 xxxgxg，求 a的取值范围例例 19(高次处理证明不等式、取对数技巧高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2aaxxxf .（1）若2)( xxf对任意的0x恒成立，求实数a的取值范围；（2）当1a时，设函数xxfxg)()( ，若1),1 ,1(,2121
13、xxexx ，求证4 2121)(xxxx例例 20（绝对值处理）（绝对值处理）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极cbxaxxxf23)(1x大值（I）求实数的取值范围；a（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；9)32()(2axf)(xf（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：)(xfR、81| )sin2()sin2(|ff第 4 页 共 34 页例例 21（等价变形）（等价变形）已知函数xaxxfln1)()aR（）讨论函数在定义域内的极值点的个数；)(xf（）若函数在处取得极值，对,恒成立，)(xf1xx ),0(2)( bxxf求实数的取值范围；b（）当且时，试比
14、较的大小20eyxex xy xy ln1ln1 与例例 22（前后问联系法证明不等式）（前后问联系法证明不等式）已知217( )ln , ( )(0)22f xx g xxmxm ，直线l与函数( ), ( )f x g x的图像都相切，且与函数( )f x的图像的切点的横坐标为 1。（I）求直线l的方程及 m 的值；（II）若( )(1)( )()h xf xg x其中g (x)是g(x)的导函数，求函数( )h x的最大值。（III）当0ba时，求证：()(2 ).2baf abfaa例例 23(整体把握，贯穿全题整体把握，贯穿全题)已知函数ln( )1xf xx（1）试判断函数( )f x的单调性； （2）设0m ，求( )f x在 ,2 mm上的最大值；（3）试证明：对任意*nN，不等式11ln()enn nn都成立（其中e是自然对数的底数）例例 24(化简为繁，统一变量化简为繁，统一变量)设aR,函数( )lnf xxax.（）若2a ，求曲线( )yf x在1, 2P处的切线方程；（）若( )f x无零点,求实数a的取值范围；（）若( )f x有两个相异零点12,x x,求证: 2 12xxe.例例 25（导数与常见不等
