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1、- 1 -高中数学必修高中数学必修 4 4 知识点总结知识点总结第一章第一章 三角函数(初等函数二)三角函数(初等函数二) 正角: 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、象限角及轴线角象限角及轴线角:角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,x 则称为第几象限角第一象限角的集合为36036090 ,kkkooo第二象限角的集合为36090360180 ,kkkoooo第三象限角的集合为360180360270 ,kkkoooo第四象限角的集合为360270360360 ,kkkoooo终边在轴上的角的集合为x1
2、80 ,kk o终边在轴上的角的集合为y18090 ,kk oo终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk o3、与角与角终边相同的角的集合为终边相同的角的集合为:360,kk o4、等分角所在象限:等分角所在象限:已知是第几象限角,确定所在象限的方法:先把各象限均分等份,*nnn再从轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来是第几象限对应的标号即x为终边所落在的区域n5、 弧度定义:弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度11 6、圆心角弧度数公式:圆心角弧度数公式:半径为 的圆的圆心角所对弧的长为 ,则角的弧度数的绝对值rl是l r7、弧度制与角度制的换算公式:弧度制
3、与角度制的换算公式:,2360o1180o180157.3o o8、扇形弧长、周长及面积公式:扇形弧长、周长及面积公式:若扇形的圆心角为,半径为 , 为弧度制r弧长为 ,周长为,面积为,则,lCSlr2Crl211 22Slrr9、三角函数定义:三角函数定义:设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是,它与原点的距, x y- 2 -P vx y A OMT 离是 ,则,220r rxysiny rcosx rtan0yxx10、三角函数在各象限的符号:三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正 11、三角函数线:三角函数线:,sin co
4、s tan A1212、同角三角函数的基本关系:、同角三角函数的基本关系: 221 sincos1;2222sin1 cos,cos1 sin sin2tancossinsintancos ,costan1313、三角函数的诱导公式:、三角函数的诱导公式:, 1 sin 2sinkcos 2cosktan 2tankk, 2 sinsin coscos tantan, 3 sinsin coscostantan , 4 sinsincoscos tantan , 5 sincos2cossin2 6 sincos2cossin2 口诀:奇变偶不变,符号看象限 1414、三角函数的图象变换:、三
5、角函数的图象变换: 方式一:横向先平移后伸缩(先相位变换后周期变换)函数的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函sinyxsinyx数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变) ,得到函数sinyx1 的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的sinyxsinyx倍(横坐标不变) ,得到函数的图象Asinyx A方式二:横向先伸缩后平移(先周期变换后相位变换)函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变) ,得到函数sinyx1 的图象;再将函数再将函数的图象上所有点向左(右)平移的图象上所有点向左(右)平移个单位长度个单位
6、长度,得到函数sinyxsinyx 的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的sinyxsinyx倍(横坐标不变) ,得到函数的图象Asinyx A- 3 -1515、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当时,22xkk;当max1y22xk时,kmin1y 当时, 2xkk;当max1y2xk时,kmin1y 既无最大值也无最小值周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk上是增函数;k在32,222kk上是减函数k在上2,2kkk是
7、增函数;在 2,2kk上是减函数k在,22kk上是增函数k对称性对称中心 ,0kk对称轴对称中心,02kk对称中心,02kk无对称轴函数性质- 4 -2xkk对称轴xkk16.函数的性质:sin0,0yx AA 振幅:;周期:;频率:;相位:;初相:A2 1 2f x函数,当时,取得最小值为 ;当时,取得最大值为,则sinyx A1xxminy2xxmaxy,maxmin1 2yyA maxmin1 2yy 21122xxxx奇偶函数与 的关系:当函数 yAsin(x)分别为奇函数和偶函数时, 的取值是 什么?对于函数 yAcos(x)呢?提示:函数 yAsin(x),当 k(kZ)时是奇函数
8、,当 k (kZ)时是偶函2 数;函数 yAcos(x),当 k(kZ)时是偶函数,当 k (kZ)时是奇函2 数第三章 三角恒等变换2424、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:;coscoscossinsincoscoscossinsin;sinsincoscossinsinsincoscossin() ;tantantan1tantantantantan1tantan() tantantan1 tantantantantan1 tantan2525、二倍角的正弦、余弦和正切公式:、二倍角的正弦、余弦和正切公式:sin22sincos2222cos2cos
9、sin2cos1 1 2sin (降次公式:降次公式:,) 2cos21cos221 cos2sin222tantan21 tan- 5 -2626、辅助角公式:、辅助角公式:,其中22sincossinAA tanA第二章 平面向量1616、向量:、向量:既有大小,又有方向的量 数量:只有大小,没有方向的量 有向线段的三要素:起点、方向、长度 零向量:长度为的向量0 单位向量:长度等于 个单位的向量1 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零非零向量零向量与任一向量平行 相等向量:长度相等且方向相同方向相同的向量 1717、向量加法运算:、向量加法运算: 三角形法则的特点:首尾相连 平行四
10、边形法则的特点:共起点三角形不等式:abababrrrrrr运算性质:交换律:;结合律:;abbarrrrabcabcrrrrrr00aaarrrrrbrarCAabCC AA uuu ruuu ruuu rrr- 6 -坐标运算:设,则11,ax yr22,bxyr1212,abxxyyrr1818、向量减法运算:、向量减法运算: 三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量坐标运算:设,则11,ax yr22,bxyr1212,abxxyyrr设、两点的坐标分别为,则A11,x y22,xy1212,xxyyA uuu r1919、向量数乘运算:、向量数乘运算: 实数与向量的积是一个
11、向量的运算叫做向量的数乘,记作arar;aarr当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,0arar0arar00arr运算律:; aa rraaarrrababrrrr坐标运算:设,则,ax yr ,ax yxyr2020、向量共线定理:、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使0a a rr rbrbarr设,其中,则当且仅当时,向量、共线11,ax yr22,bxyr0b rr12210x yx yar0b b r rr2121、平面向量基本定理:、平面向量基本定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向1eu r2eu u r量,有且
12、只有一对实数、,使 (不共线不共线的向量、作为这一平面内所有向量ar121 122aeeu ru u rr1eu r2eu u r的一组基底)2222、分点坐标公式:、分点坐标公式:设点是线段上的一点,、的坐标分别是,当12 1211,x y22,xy时,点的坐标是12 uuu ruuu r1212,11xxyy 2323、平面向量的数量积:、平面向量的数量积:零向量与任一向量的数量积为cos0,0,0180a ba baboorrrrrrrr0性质:设和都是非零向量,则当与同向时,;当与反arbr0aba brrrrarbra ba brrrrarbr向时,;或a ba b rrrr22a aaar rrraa arr ra ba brrrr运算律:;a bb arrrr aba babrrrrrrabca cb c rrrrr rr坐标运算:设两个非零向量,则11,ax yr22,bxyr1212a bx xy yrr- 7 -若,则,或设,,ax yr222axyr22axyr11,ax yr22,bxyr则12120abx xy yrr设、都是非零向量,是与的夹角,则ar