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1、专题二十五专题二十五 解析几何专题练习解析几何专题练习一、选择题（每题一、选择题（每题 4 分，共分，共 32 分）分）1、若椭圆 的一个焦点是（2，0），则 a 等于（ ）2、若双曲线 的焦点到它相对应的准线的距离为 2，则 k 等于（ ）A1 B. 4 C. 6 D. 83、在椭圆 中，短轴的两个端点与一个焦点恰好构成正三角形，若短轴长为 2，则两准线间的距离为（ ）4、已知双曲线 ，则点 M 到 x 轴的距离为（ ）5、双曲线 的焦点分别为 以线段 为边长作等边三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另外两边，则双曲线的离心率为（ ）6、椭圆 长轴上的一个顶点为 A，以 A 为直角顶点作一个内
2、接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为（ ）7、若椭圆 的左、右焦点分别为 线段 被抛物线的焦点分成 5：3 两段，则椭圆的离心率为（ ）8、点 P（3，1）在椭圆 的左准线上，过点 P 且方向为的光线，经直线 y2 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分）1、若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程为 。2、若抛物线 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离 ，则点 M 到 x 轴的距离为 。3、抛物线 的焦点到准线的距离为 。4、抛物线 在点 P 和 Q 处的切线斜率分别为 1 和1，则 。
3、三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 4 题，满分题，满分 48 分）分）1、经过抛物线 的焦点的直线 l 与抛物线交于点 A、B，若抛物线的准线上存在一点 C，使ABC 为等边三角形，求直线 l 的斜率的取值范围.2、已知曲线 ，一条长为 8 的弦 AB 的两个端点在 H 上运动，弦AB 的中点为 M，求距 y 轴最近的点 M 的坐标.3、已知点 为椭圆 上一定点，过点 A 作两条直线与椭圆交于 B、C 两点.若直线AB、AC 与 x 轴围成以点 A 为顶点的等腰三角形，求直线BC 的斜率，并求在什么条件下ABC 的面积最大？最大面积是多少？4、如图，直角三角形 PAQ 的顶点 P(
4、3,0)，点 A 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴正半轴上，PAQ90.在 AQ 的延长线上取点 M，使 .（1）当点 A 在 y 轴上移动时，求动点 M 的轨迹 C；（2）设轨迹 C 的准线为 l，焦点为 F，过 F 作直线 m 交轨迹 C 于 G、H 两点，过点 G 作平行轨迹 C 的对称轴的直线 n 且 nlE.试问：点 E、O、H（O 为坐标原点）是否在同一条直线上？说理由.答案与解析：答案与解析：一、一、 选择题选择题1、选、选 B解析：解析：从椭圆的标准方程切入，由题设知，所给方程为椭圆第一标准方程：这里有 于是可得 ，应选 B.2、选、选 C.解析：解析：双曲线标准方程为 双曲线
5、的焦点到相应准线的距离 由题设得 应选 C.3、选、选 A.解析：解析：由题设得 a2b又 b1，a2， 两准线间的距离 应选 A.4、选、选 C.解析：解析：应用双曲线定义.设 得，又 由得 即点 M 到 x 轴的距离为 ，应选 C.5、选、选 A.解析：解析：由题设易知等边三角形的另一顶点 P 在 y 轴上，且中线 OP 的长为 设 故有由此解得 或 （舍去） 应选 A.6、选、选 A.解析：解析：椭圆标准方程为 取 A(2,0)，由题设易知以 A 为顶点的等腰直角三角形 BAC 的顶点 B、C 关于 x 轴对称.不妨设 B 点坐标为 则由等腰直角三角形 ABC 得 将点 B 坐标 代入椭
6、圆方程 得 或 于是有 应选 A.7、选、选 D.解析：解析：由题设得 由得 故应选 D.8、选、选 A.解析：解析：从确立反射光线的方程突破.椭圆左准线方程 ，左焦点 由题意得 又过点 p 方向为 点（3，1）关于直线 y2 的对称点为（3，5）由光学知识得反射光线斜率为 ，反射光线经过点（3，5）反射光线方程为 在中令 y0 得 x1，即反射光线与 x 轴的交点为（1，0），椭圆左焦点坐标为（1，0），即 c1 于是由得 应选 A.二、填空题二、填空题1、答案：、答案： 解析：解析：由题意得 将代入 双曲线方程为 2、答案：、答案： 解析：解析：这里 令 则由抛物线定义得 点 M 到 x
7、轴的距离为 .3、答案：、答案： .解析：解析：抛物线方程为 当 a0 时，焦点到准线的距离 ；当 a0 且 又点 A 到直线 BC 的距离 ABC 的面积 当且仅当 时等号成立 ，当且仅当 （满足式）时取得.于是可知，当 或 时，ABC 的面积 S 取得最大值 ，此时，直线 BC 的方程为 ，即 .此时又易知 BCOA（O 为原点），B、C 两点恰好分别为长轴、短轴的端点.点评：点评：本题的难点在于求直线 BC 的斜率.对此，从已知条件中认识到直线 AB 和 AC 的倾角互补，进而 是解题的关键环节.对于 B、C 两点坐标，立足于“求解”，虽然计算量大一些，但思路简明，解题的技术含量较低，反
8、而容易寻出目标.对于直线与圆锥曲线相交的问题，在适宜的条件下以“求解”回避审题需要的深刻与细腻，也是解题的基本方略.4、分析：、分析：（1）条件 的转化，化繁为简的策略之一，是线段向 x 轴或向 y 轴的投影转化.注意到这里点 A 在 y 轴上，故考虑运用这一策略进行转化.（2）此为常见的直线与抛物线相交的问题，故考虑对点 G、H、E 的坐标“既设又解”.解：解：（1）设 M(x,y)，且过点 M 作 MNOY 于 N则 点 A 坐标为 由题设得 PAAM化简得 注意到当 x0 时，点 M 与点 N 重合，点 Q 与原点重合，这与已知条件不符因此，动点 M 的轨迹方程为 ，其轨迹是顶点在原点，
9、焦点为 F(1,0)的抛物线（不含顶点）.(2)由（1）知，轨迹 C 的焦点 F(1,0)，准线 l：x1（）当直线 m 不与 x 轴垂直时，设直线 m 的方程为 yk(x-1)（k0） 将与 联立，消去 x 得 由韦达定理得 又直线 n 的方程为 点 E、O、H 三点共线（）当直线 mox 时，直线 m 的方程为 x1，此时易证点 E、O、H 三点共线.于是，由（）（）知，题设条件下的点 E、O、H 一定在同一条直线上.点评：点评：对于（1），已知条件的投影转化促使点 M，A 的关系明朗，从而为运用“直接法”求轨迹方程奠定基础.对于（2），要证点 E、O、H 三点共线，重点证 也是常用方法.只是不可忽略直线 mx 轴的情形.“一般”与“特殊”共同组成解题或证明的完整过程.此题的求解也是展示一般与特殊之间辩证关系的一个范例.
