高考数学文科回归教材 平面向量

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1、岳阳县一中2012 届高三文科数学 第 1 页 共 5 页新新课标课标回归教材回归教材 平面向量平面向量 1 1、向量有关概念、向量有关概念: (1)向量的概念向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示, 注意不能说向量就是有向线段不能说向量就是有向线段,为什么？(向量可以平移).典例典例:已知,则把向量按向量平移后得到的向量是.(1,2), (4,2)ABABuuu r( 1,3)a r (3,0)(2)零向量零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作,注意零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的;0r(3)单位向量单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位

2、向量(与共线的单位向量是);ABuuu r|AB ABuuu r uuu r(4)相等向量相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;(5)平行向量（也叫共线向量）平行向量（也叫共线向量）:方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作arbrar,提醒提醒 规定零向量和任何向量平行规定零向量和任何向量平行.br相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;平行向量无传递性平行向量无传递性！（因为有);三点共线共线;0rABC、 AB ACuuu r uuu

3、r、(6)相反向量相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量是.arar典例典例:下列命题:(1)若,则.(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点| |abrrabrr相同.(3)若,则是平行四边形.(4)若是平行四边形,则.(5)ABDCuuu ruuu rABCDABCDABDCuuu ruuu r若,则.(6)若,则.其中正确的是 (4),(5) .,ab bcrr rracrr/ / , / /ab bcrr rr/ /acrr2 2、向量的表示方法、向量的表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在ABuuu r后;(2)符号表

4、示法:用一个小写的英文字母来表示,如,等;(3)坐标表示法:在平面内建立arbrcr直角坐标系,以与轴、轴方向相同的两个单位向量,为基底,则平面内的任一向量xyirjr可表示为,称为向量的坐标,叫做向量的坐标表示.如ar( , )axiy jx yrrr( , )x yarar( , )x yar果向量的起点在原点向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 3.3.平面向量的基本定理平面向量的基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一12,e eu r u u r向量,有且只有一对实数,使.ar12, 1 122aeeru ru u r典例典例:(1)若,则;

5、(1,1),(1, 1),( 1,2)abc rrrc r13 22abrr(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是( B ) A. B. 12(0,0),(1, 2)eeu ru u r12( 1,2),(5,7)ee u ru u rC. D. ;12(3,5),(6,10)eeu ru u r1213(2, 3),( ,)24eeu ru u r(3)已知分别是的边的中点,且,则 ;D E、ABCBC AC、,ADa BEbuuu rr uuu rrBC uuu r24 33abrr(4)在中,则的值是 0 .ABC2CDDB CDr ABs AC rs4 4、实数与向量的积、实

6、数与向量的积:实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下:arar,当时,的方向与的方向相同,当时,的方向与的方| | |aarr0arar0arar向相反,当时,注意注意:.00a rr0a r岳阳县一中2012 届高三回归教材 第 2 页 共 5 页5 5、平面向量的数量积、平面向量的数量积:(1)两个向量的夹角两个向量的夹角:对于非零向量,作称为向量, a br r,(0)OAa OBbAOBuu u rr uuu rr的夹角,当时,同向,当时, 反向,当时,垂直., a br r0, a br r, a br r2, a br r特别提醒特别提醒:根据两个非零向量的夹角的定

7、义,求其夹角时应保证两个向量的起(或终)点相同. 典例典例:在中,若,则向量与的夹角是.ABC60AoCAuu u rABu u u r120o(2)平面向量的数量积平面向量的数量积:如果两个非零向量,它们的夹角为,我们把数量叫做, a br r|cosa brr与的数量积(或内积或点积),记作:,即.arbra br r|cosa ba br rrr另规定:零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实数注意数量积是一个实数, ,不再是一个向量不再是一个向量.典例典例:1)中,则 9 ;ABC| 3,| 5,| 4ABBCCAuuu ruuu ruu u rAB BCuuu r uuu

8、r2)已知,与的夹角为,则等于 1 ;11(1, ),(0,),22abcakb dabrrrrr u rrrcrdu r4k3)已知,则等于;| 2,| 5,3aba b rrr r|abrr234)已知是两个非零向量,且,则的夹角为, a br r| | |ababrrrraabrrr与30o(3)在在上的投影上的投影为,是一个实数.由数量积定义有简化公式:brar|cosbr|cos|a bbar rrr典例典例:已知,且,则向量在向量上的投影为.| 3,| 5|abrr12a br rarbr125 (4)的几何意义的几何意义:数量积等于的模与在上的投影的积.a br ra br ra

9、r|arbrar(5)向量数量积的性质向量数量积的性质:设两个非零向量,其夹角为,则:;, a br r0aba brrr r当,同向时,特别地,;arbra br r| |abrr222,|aa aaarr rrr当与反向时,;arbra br r| |abrr当为锐角,且且不同向.(是是为锐角的必要非充分条件为锐角的必要非充分条件);0a br ra br r、0a br r当为钝角,且且不反向.(是是为钝角的必要非充分条件为钝角的必要非充分条件);0a br ra br r、0a br r典例典例:若向量与向量夹角为锐角,则;( ,2 )a r(3 ,2)b r411(,)(0, )(

10、,)333 UU非零向量,夹角的计算公式:;显然可推出.arbrcos| |a b abr r rr| | |a babr rrr典例典例:若与之间有关系式.(cos ,sin ),(cos ,sin ),axx byyrrarbr3(0)kabakb krrrr用表示;,此时与的夹角.ka br r21(0)4kkkmin()a br r1 2arbr60o在中,ABC11sintan()222ACBSAB ACAAB ACA Auuu r uuu r典例典例:在中,且,则夹角的取值范围是.OFQ1OF FQuuu r uuu r13 22OFQS,OF FQuuu r uuu r(,)4

11、3 6 6、向量的运算、向量的运算: (1)几何运算几何运算: 向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”:设,那么向量叫做与,ABa BCbuuu rr uuu rrACuuu rar岳阳县一中2012 届高三文科数学 第 3 页 共 5 页的和,即;brabABBCACrruuu ruuu ruuu r向量的减法:用“三角形法则”:设,由减向量,ABa ACbabABACCAuuu rr uuu rrrruuu ruuu ruu u r那么 的终点指向被减向量的终点.注意:此处减向量与被减向量的起点相同.典例典例

12、:1)化简:; ; ;ABBCCDuuu ruuu ruuu rADuuu rABADDCuuu ruuu ruuu rCBuu u r()()ABCDACBDuuu ruuu ruuu ruuu r0r2)若正方形的边长为 1,则;ABCD,ABa BCb ACcuuu rr uuu rr uuu rr|abcrrr2 23)点 O 在所在平面内,且,则形状为直角三角形;ABC| |2|OBOCOBOCOAuuu ruuu ruuu ruuu ruu u rABC4)在中,为中点,点满足.设,则的值为 2 ;ABCDBCP0PABPCPuu u ruu u ruu u rr| |AP PDu

13、uu r uuu r5)若点是的外心,且,则的内角为_（答:）;OABC0OAOBCOuu u ruuu ruuu rrABCC120o(2)坐标运算坐标运算:设,则:1122( ,),(,)ax ybxyrr向量的加减法运算向量的加减法运算:,.12(abxxrr12)yy典例典例:1)已知点,若,则当时,点 P(2,3), (5,4)AB(7,10)C()APABACRuuu ruuu ruuu r1 2 在第一、三象限的角平分线上;2)已知,则;1(2,3), (1,4),(sin ,cos )2ABABxyuuu r且,(,)2 2x y xy62或3)已知作用在点的三个力,则合力的(

14、1,1)A123(3,4),(2, 5),(3,1)FFFu u ruu ruu r123FFFFu ru u ruu ruu r终点坐标是（9,1）.实数与向量的积实数与向量的积:.1111( ,)(,)ax yxyr若,则,即一个向量的坐标等于表示这个向量的1122( ,), (,)A x yB xy2121,ABxx yyuuu r有向线段的终点坐标减去起点坐标.典例典例:设,且,则 C、D 的坐标分别是;(2,3), ( 1,5)AB 1 3ACABuuu ruuu r3ADABuuu ruuu r11(1,),( 7,9)3平面向量数量积平面向量数量积:.1212a bx xy yr r典例典例:已知向量.(sin ,cos ),(sin ,sin ),( 1,0)axx bxx c rrr1)若,求向量、的夹角;(答:)3x arcr(1)150 ;o2)若,函数的最大值为,求的值;(答:或)3,84x ( )f xa br r1 21(2)221向量的模向量的模:.222222|,|axyaaxyrrr典例典例:已知均为单位向量,它们的夹角为,那么; , a br r60o|3 |abu u rr13两点间的距离两点间的距离:若,则.1122,A x yB xy22 2121|ABxxyy典例典例:如图,在平面斜坐标系中,平面上任一点 P 关xOy