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1、第一章第一章 复习复习 集合中的题型与方法集合中的题型与方法集合问题为每年必考题型之一，特别是近几年高考试卷中出现了一些以集合为背景的 试题，这些试题涉及的知识面广，灵活性较强.实际上，这方面问题的本质是以集合为载体， 将一些数学问题的已知条件“嵌入”集合之中，只不过是在语言形式方面做了些变通罢了， 而解决问题的理论依据、方法等仍类似于其他问题的求解.因此，在集合题型上应引起我们 的足够重视.1准确理解集合元素的两个性质准确理解集合元素的两个性质集合是一个原始的，不定义的概念，集合中的元素具有确定性和互异性确定性是对 某一集合来说，任一对象或者是该集合的元素，或者不是该集合的元素，二者必居其一
2、； 互异性是指集合中的元素互不相同在进行集合的交、并运算时，根据元素的互异性，同 一个元素在集合中是不能重复出现的而当把一个对象用集合来表示时，也必须以此为依据进行考虑比如，方程的解集，若用列举法来表示，只能写成而不2440xx 2能写成 2 2，2准确把握各种不同的表示方法准确把握各种不同的表示方法集合的表示方法通常有列举法和描述法两种 列举法是将给定集合的元素一一列出写 在“ ”中用列举法表示集合时，首先要注意集合元素具有怎样的形式例如，把方程组的解集写成或都是错误的这是因为的元素是两个数，8 6xy xy 71 ，71xy， 71 ，的元素是两个方程，而方程组的解是一个点，因此其解集应为
3、其71xy，(71)，次，用列举法表示由许多元素或无限多个元素组成的集合时，若元素间具有明显的规律性， 则可在大括号内列举出部分元素，而其余的元素用省略号表示用描述法表示集合时，注 意不要把集合二字连同元素一起放在花括号内造成错误，如把“所有正方形组成的集合”写 成所有正方形组成的集合，而应写为正方形对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法；对无限集合，一般采用描述法表 示 3准确掌握元素与集合的关系（准确掌握元素与集合的关系（）及集合与集合的关系）及集合与集合的关系() ，集合相等是两个集合之间的一个重要关系按照定义，对于两个集合 A 和 B，如果 A B，同时 BA，那么就说这两个集合
4、相等，记作 A=B由此知，集合 A 与集合 B 相等，是指 A 的每一个元素都在 B 中，而且 B 中的每一个元素都在 A 中 集合中的题型集合中的题型 题型 1：集合相等问题 集合相等问题，主要是利用集合中元素的互异性，集合中元素的互异性是集合的重要 属性，在解题中集合中元素的互异性常常被我们忽略，从而导致解题的失败，所以在解题 中应引起足够的重视.例 1.已知集合，若，求的值 ,2 Aa ab ab2 ,Ba ac acABc分析：要解决的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的各个集c 合的元素完全相同，及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式解：根据题意，分两种情况进
5、行讨论：（1）若，消去，得,2,2,abacabac b220aacac当时，集合中的三个元素均为零，与元素的互异性相矛盾，故0a B0a ，即，此时中的三个元素又相同，,此时无解.2210cc 1c B1c （2）若消去，得,2,2,abacabac b220acaca，即,又，0a 2210cc (1)(21)0cc1c 1 2c 评注：（1）解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检 验和修正. （2）有些数学问题很难从整体着手解决，需从分解入手，把整体科学合理地划分为若 干个局部独立的问题，通过逐一判断来解决这些问题，从而达到整体问题的解决，这种重 要的数学方法
6、就是分类讨论的方法 ，要学会这种思维方法. 题型 2：证明、判断两集合的关系 集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的 问题，因此要予以重视。反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来 定义的。因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.例 2.设集合Z，集合Z，试判断集合、 |32,Aa ann |31,Bb bkkA的关系。B 分析：先判断元素与集合的关系，再判断集合与集合的关系解：任设，则Z，aA323(1) 1,annnZ，Z.故.n1n aBAB又任设，则Z.bB313(1)2,bkkk Z，Z.故.k1k bABA
7、综上可知.AB评注：在说明，或的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推aBbA 理.变式 1: （2011 湖南理湖南理 2）设集合 21,2 ,MNa则 “1a ”是“NM”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D.充分又不 必要条件 【答案答案】A 题型 3：集合中的参数问题所谓集合中的参数问题，是指集合适合的条件中“适合的条件”里面含有参数 |p pp的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性极强，难度也很大.因此，解决此为问题要注意思维的严谨性.例 3.已知集合，满足，则实数 | 2Axx5 |1Bx mx21mBA的取值范围为 m解：(1)当时
8、，得，满足.B 121mm 2m BA(2)当时，解得.B 121, 12, 215.mm m m 2m3综合(1)、(2)得的取值范围是.mm3 评注：有关子集问题讨论中不要忽视了对空集的讨论，特别不能认为子集是由原来集合中的部分元素所组成的集合.在中，含有这种可能，应注意.在集合单元中BAB 含有丰富的分类讨论内容，所以要注意增强运用分类讨论的思想和方法解决问题的意识， 掌握分类方法，培养周密的思维品质. 题型 4：利用韦恩图或数轴求交集、并集、补集 有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象，采用 数形结合思想方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、
9、准确地获解.例 4.设全集，., |UR Ax x2 |1Bx x (1)求及；(2)求及.ABIABUU()ABIU()ABU解：(1)如图，利用数轴可直观地得到结果：；. | 1ABxx I2ABRU(2) ，或；.U() |ABx xI12x U()AB U评注：有关用不等式表示的集合的并、交、补运算，常常借助于数学轴的几何直观来 帮助思考.变式 1:（2011 江苏江苏 14）设集合,)2(2| ),(222RyxmyxmyxA , , 122| ),(RyxmyxmyxB, 若, BA则实数 m 的取值范围是 _【答案答案】22 ,21题型 5：开放、定义型问题 近几年在高考试题的帮
10、助带动下，一大批以集合为背景的开放型试题不断出现.在用描述法表示的集合中，集合的形式被表示为所适合的条件，其中的代表元素“的任意 |x xx性”和“所适合的条件的灵活性”决定了这类题目具有涉及的知识面广、灵活性强等特点.x例 5.设，定义与的差集为，1,2,3,4,5,6A 1,2,7,8B AB |ABx xAx21。且，则xB()AAB解：由所给的新定义：差集，且，得，从 |ABx xAxB3,4,5,6AB而.()1,2AAB评注：差集中的“差”与我们平时所接触的“差”的意义是不同的.我们可能会犯这样的错误：.()1,2,7,8AABAABB变式 1:（2011 广东理广东理 8）设 S
11、 是整数集 Z 的非空子集，如果,a bS有abS，则称 S 关于数的乘法是封闭的若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集，,TUZ且 , ,a b cT有;, ,abcTx y zV有xyzV，则下列结论恒成立的是 A,T V中至少有一个关于乘法是封闭的B,T V中至多有一个关于乘法是封闭的C,T V中有且只有一个关于乘法是封闭的D,T V中每一个关于乘法都是封闭的 【答案答案】A变式 2: 已知Z，( , )|,Ax yxn yanb nZ，问是否存在实2( , )|,315,Bx yxm ymm22( , )|Cx yxy14数，使得(1)，(2)同时成立., a bAB I( , )
12、a bC分析：假设存在使得(1)成立，得到与的关系后与联立，然后讨论, a bab22xy14联立的不等式组.解：假设存在实数，使得，同时成立，则集合, a bAB I( , )a bCZ与集合Z分别( , )|,Ax yxn yanb n2( , )|,315,Bx yxm ymm对应集合Z与Z，与对应1( , )|,Ax yyaxb x2 1( , )|315,Bx yyxx1A1B的直线与抛物线至少有一个公共点，所以方程组有yaxb2315yx2315yaxbyx 解，即方程必有解.2315xaxb因此，212(15)ab 20a 12180b又 22ab14由相加，得，即.2b1236
13、b2(6)b06b 将代入得，6b 2a108再将代入得，因此，6b 2a1086 3a 将，代入方程得，6 3a 6b 2315xaxb236 390xx解得Z.3x 所以不存在实数，使得(1)，(2)同时成立., a b评注：对于存在性探索性问题，首先要假设这样的问题存在，以此出发，依据已知条 件、公理、定理进行推理论证，推出一个较为明显的结论，最后根据这样的结论有无矛盾， 得出问题的结论.高三文科数学（集合）高三文科数学（集合）A 组组1 （2007 年高考广东文科卷）已知集合 M=01 xx，N= 011 xx，则NM I （ ）A 11xx B 1xx C11xx D1xx2 （20
14、08 年高考广东文科卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合A 参加北京奥运会比赛的运动员，集合B 加北京奥运会比赛的男运动员，集合C 加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（ ）A.ABB. BCC. BCAUD. ABCI3已知集合1 , 1A，1|mxxB，且ABA，则m的值为（ ）A1B1 C1 或1 D1 或1 或 04 （2009 年高考广东文科卷）已知全集 U=R，则正确表示集合 M=1，0，1和 N=210x x 关系的韦恩（Venn）图是（ ）5如图，U 是全集，M、P、S 是 U 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）A、 MPSII B、 MPSIUC、 uMPC SII D、 uMPC SIU6已知集合 A=1，2，3，4，那么 A 的真子集的个数是 7 已知全集 U=22 , 3 ,23aa，若 A=, 2b，5UC A ，求实数的 a ,b 值答案(1)-
