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1、- 1 -高考高考数学数学回归课本回归课本教案教案整理：卢立臻整理：卢立臻 第六章第六章 三角函数三角函数一、基础知识一、基础知识 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向， 则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任 意的。 定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所 对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|=,其中 r 是圆的半径。rL定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重 合，在角
2、的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y） ，到原点的距离为 r,则正弦函数 sin=,余弦函数 cos=,正切函数 tan=，余切函数 cot=，正割ry rx xy yx函数 sec=,余割函数 csc=xr.yr定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=,sin=，cos=cot1 csc1；商数关系：tan=；乘积关系：sec1 sincoscot,cossintancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2. 定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-c
3、os, tan(+)=tan, cot(+) =cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, 2cos=sin, tan=cot（奇变偶不变，符号看象限） 。 2 2 定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周 22 ,22kk 232 ,22kk期为 2. 奇偶数. 有界性：当且仅当 x=2kx+时，y 取最大值 1
4、，当且仅当 x=3k-时, 22y 取最小值-1。对称性：直线 x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值2域为-1，1。这里 kZ. 定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=k 均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当 0 ,2kx=2k 时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 kZ.- 2 -定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(xk+)在开区间(k-,
5、 k+)上为2 2 2增函数, 最小正周期为 ，值域为（-，+） ，点（k，0） ， （k+，0）均为其对称中2心。 定理 6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()m=sincoscossin; tan()=.)tantan1 ()tan(tan m定理 7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos, 2 2 2 2cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin, 2 2 2 2sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),21 21coscos=cos(
6、+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).21 21定理 8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=.)tan1 (tan22 定理 9 半角公式:sin=,cos=, 2 2)cos1 ( 2 2)cos1 (tan= 2 )cos1 ()cos1 ( .sin)cos1 ( )cos1 (sin 定理 10 万能公式: , , 2tan12tan2 sin2 2tan12tan1 cos22.2tan12tan2 tan2定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b20，则取始边在
7、 x 轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为 ，则 sin=,cos=，对任意的角 . 22bab22baaasin+bcos=sin(+).)(22ba 定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有，其中 a, b, c 分别是RCc Bb Aa2sinsinsin角 A，B，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的 对边。 定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得- 3 -y=sin(x+)的图象（相位变换） ；纵坐
8、标不变，横坐标变为原来的，得到 y=sin(1x)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象0 （振幅变换） ；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到 y=Asinx 的图象。定义 4 函数 y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x-1, 1)，函 2,2x数 y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1, 1). 函数 y=ta
9、nx的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的 2,2x反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x-, +). 定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。 方程 cosx=a 的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.2 2定理 16 若，则 sinx-1，所以 cos， ,2x0 ,2x所以 sin(
10、cosx) 0,又 00， 所以 cos(sinx)sin(cosx).若，则因为 sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)2, 0x2cos22sin222 xx4 4=sin(x+)cos(-cosx)=sin(cosx).2综上，当 x(0,)时，总有 cos(sinx)0，求证：2. 2sincos sincos xx 【证明】 若 +，则 x0，由 -0 得 cossin(-)=cos, 所以 0cos(-)=sin0,2 2 2 2所以1。又 01， sincos 2 sincos所以，得证。2sincos sincos sincos sincos00 xx注：以上两
11、例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2 是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx） ；其次，当且仅当 x=k+时，y=0（因为|2cosx|20, cos0.2202 2- 5 -所以 sin（1+cos）=2sincos2= 22 2 2cos2cos2sin22222=3 22232cos2cos2sin2 2 .934 2716当且仅当 2sin2=cos2, 即 tan=, =2arctan时，sin(1+cos)
12、取得最大值2 2 2 2222 2。934例 7 若 A，B，C 为ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。【解】 因为 sinA+sinB=2sincos, 2BA 2sin22BABAsinC+sin, 23sin223cos23sin23 CCC又因为，3sin243cos43sin223sin2sin CBACBACBA由，得 sinA+sinB+sinC+sin4sin,3 3所以 sinA+sinB+sinC3sin=,3 233当 A=B=C=时， （sinA+sinB+sinC）max=.3 233注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和
13、差化积与积化和差公式、均值不等式、柯 西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5换元法的使用。例 8 求的值域。xxxxycossin1cossin 【解】 设 t=sinx+cosx=).4sin(2cos22sin222 xxx因为, 1)4sin(1x所以. 22t 又因为 t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx=，所以，212t 21 1212t txy所以.212 212y- 6 -因为 t-1，所以，所以 y-1.121t所以函数值域为.212, 11,212 Uy例 9 已知 a0=1, an=(nN+)，求证：an.11121nn aa22n【证明】 由题设 an0，令 an=tanan, an，则 2, 0an=.tan2tansincos1 tan1sec tan1tan111111112nnnnnnnnaa aa aa aa因为，an，所以 an=，所以 an=21na 2, 0121na.210an 又因为 a0=tana1=1，所以
