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1、姓名：姓名：戴鹏 指导老师：指导老师：胡立坤 成绩：成绩： 学院：学院：电气工程学院 专业：专业：自动化 班级：班级：自 093-年-月- -日 实验内容：实验内容：一阶倒立摆模型建立与正确性分析 其他组员：其他组员：黄育尚 【实验时间实验时间】 2013 年 1 月 18 日星期五 【实验地点实验地点】综合楼 702 【实验目的实验目的】学会建立一阶倒立摆模型建立，并结合物理现象与数值结果分析模型的正确性。 【实验设备与软件实验设备与软件】MATLAB/Simulink 【实验原理实验原理】对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难 但是经过 假设忽略掉一些次要的因素
2、后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性 坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程 下面我们采用其中的牛顿 欧拉方法建 立直线型一阶倒立摆系统的数学模型. 微分方程的推导：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一阶倒立摆系统抽象成小 车和匀质杆组成的系统.图一直线一阶倒立摆系统图参数参数大小大小摆杆质量摆杆质量 m m0.109kg 小车质量小车质量 M M1.096kg 摆杆转动轴心到摆杆质心的长度摆杆转动轴心到摆杆质心的长度 l l0.25m 摆杆绕其重心的转动惯量摆杆绕其重心的转动惯量 J J0.0034kg.2 摆杆与小车间的摩擦系数摆杆与小车间的摩擦系数 b1b1
3、0.001N.m.s. 1小车水平运动的摩擦系数小车水平运动的摩擦系数 b2b20.1N.m.s. 1摆杆与垂直向上的夹角摆杆与垂直向上的夹角 取小车质量 M=1.096kg，摆杆质量 m=0.109kg，摆杆与小车间的摩擦系数 b1=0.001N.m.s.，小车水平运动的摩擦系数 b2=0.1N.m.s.，摆杆转动轴心到摆杆质心的长度 1 1l=0.25m，加在小车上的力 F，小车位置 X，摆的角度 摆杆惯量 J。 一忽略摩擦一忽略摩擦 摆杆绕其重心的转动方程为：J=l lsincos（1） 摆杆重心的水平运动可描述为：=m(x+) 22lsin（2） 摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为：m
4、g= m(x+l) 22cos（3） 小车水平方向运动可描述为：F=M 22（4） 由式(2)和式（4）得到： （M+m）x+ml（）=F cos sin 2（5） 由式（1）式（2）和式（3）得：J+mml=mgl 2 +cos sin（6） 整理式（5）和式（6）得： =(J + m2) + (J + m2)sin 2 22sincos（J + m2）（ + ） 22cos2 =mlcos + 22sincos 2（ + ）mglsin22cos2（ + ）（ + 2）?（7） 若只考虑 =0 在其工作点附近（0*10）的细微变化，这时可近似认为 ， = 0sin=，cos=1,J=由此得
5、到的简化近似模型为：2 3 =（ + 2） 22（ + ）+ 2 =（ + ） （ + ）+ 2?代入数值得本实验中倒立摆的简化模型： = 0.73 + 0.89 = 32.18 2.67?二有摩擦 定义逆时针转动为正方向。设摆杆的重心为（）,则,（1）= sin = cos?根据牛顿定律建立系统垂直和水平运动力学方程： （1）摆杆绕其重心转动的力学方程为：J=l+l b1 sincos （2）式中，J 为摆杆绕其重心的转动惯量：。这里，杆重力的转动力2312 123JmL Lml矩为 0，小车运动引起的杆牵连运动的惯性力的转矩也为 0。 （1）摆杆重心的水平动力学方程为：22(sin )xd
6、xlmNdt（3） （2）摆杆重心的垂直动力学方程为：22( cos )ydlmNmgdt（4） （3）小车的水平动力学方程为：222xd xdxMFNbdtdt（5）由式（3） 、 （5）得：2 2()cossinMm xxmlmlFb【实验内容、方法、过程与分析实验内容、方法、过程与分析】 1 实验内容 完整地推导模型，并用 MATLAB/Simulink 对模型进行封装，结合物理现象与数值曲线 从以下几个方面验证模型的正确性： （1）在没有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 0 0)T时，在 10s 时给小车为脉冲信 号（面积为单位 1） ，分析波形得到结论。图 1-1图 1-2 当给一（
7、面积为单位 1）脉冲信号小车时，小车向右变加速运动，摆 杆逆时针摆动，当角度超过 /2 时，小车做减加速运动，超过 时，小 车加速运动，继而摆杆角度继续增加超过 3/2，小车加速运动，但无摩 擦情况下，小车和摆杆作为一个整体向右的动量不可能为零，摆杆一部分 势能转化为动能，从而摆杆角度不能达到 2，当角度达到最大后角度开 始减小，摆杆顺时针运动，在如上情况摆杆往复摆动，小车不断向右运动。（2）在没有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 0)T时，在 10s 时给小车为脉冲 信号（面积为单位 1） ，分析波形得到结论。图 2-1 摆杆角度初值为 时，给小车一脉冲信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆顺
8、时针摆动，角度减小，小车减速运动，而脉冲信号给的能量有限，摆杆角度不能小到 /2,当摆杆顺时针摆到最高点时，摆杆改为逆时针摆动，角度不断增大，当大于 时，小车改为加速运动,摆杆逆时针摆到最高点时，摆杆改为顺时针摆动，角度减小， 在无摩擦情况下，如上情况摆杆往复摆动，小车不断向右运动。（3）在没有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 0)T时，在 10s 时给小车为阶跃 信号（幅度为 1） ，分析波形得到结论。摆杆角度初值为 时，给小车一阶跃信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆顺 时针摆动，此时摆杆速度最大，角度减小，小车减速运动，但阶跃信号给的能量有限， 摆杆角度不能减小到 0,当摆杆顺时针摆到最高
9、点时，摆杆改为逆时针摆动，角度不断 增大，但在无摩擦情况下，由于小车和摆杆作为一个整体的动量不为零，而小车的能 量不可能全部转化为摆杆的能量，所以摆杆角度不会超过 ，而是改为顺时针运动， 如上情况摆杆往复摆动，小车不断向右运动。（4）在没有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 0 0)T时，在 10s 时给小车为阶跃信 号（幅度为 1） ，分析波形得到结论。摆杆角度初值为 0 时，给小车一阶跃信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆逆时针摆 动，角度增大，小车变加速运动，当角度超过 /2 时，小车做减加速运动，超过 时， 小车变加速运动，继而摆杆角度继续增加超过 3/2，小车加速运动，但无摩擦情况下，
10、小车动量由恒定外力维持，摆杆角度达到 2，由于摆杆方向为逆时针，所以摆杆会越过 原点，角度不断增大，如上情况摆杆不断逆时针摆动，小车不断向右运动。 （5）在没有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 0.01 0)T时，无外力作用下，分析 波形得到结论。摆杆角度初值为 0.01 时，此时摆杆受重力作用，摆杆逆时针运动，摆杆角度增大，在没有 摩擦的情况下，由于摆杆摆杆一部分势能转化为小车的动能，摆杆不能回到原始高度，即 摆杆角度不能达到（2-0.01） ，当达到最大时，摆杆改为顺时针运动，由此往复摆动。小 车也在原来位置进行极小范围的左右往复移动。然而，系统模型的仿真图却显示在 90s 左 右，小车往
11、左边跑，而且摆杆角度在 160s 时出现飙升，这与客观实在不符。（6）在没有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 20)T时，无外力作用下， （实际 上这种情况相当于给摆杆加脉冲信号） ，分析波形得到结论。摆杆角度初值为 时，给摆杆一个 20rad/s 的逆时针初速度，摆杆逆时针摆动，由于 摆杆的带动，小车往右运动摆杆逆时针摆动，角度增。与此同时，摆杆将一部分能量传给 小车，在无摩擦的情况下，摆杆即使失去一小部分能量，然而由于摆杆的初速足够大，摆 杆仍然角度超过 2，由此之后一直增大。小车和摆杆作为一个整体，当无外部因素的干 扰情况下，给摆杆一个初速，即给小车和摆杆这一整体一个动量，根据牛顿第一定
12、律，小 车和摆杆这一整体不断向右运动，即小车不断向右移。然而，图 6-1 仿真图却显示，当经 过 100 左右，小车速度减到，并反方向加速运动，这与客观规律不符。（7）在有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 0 0)T时，在 10s 时给小车为脉冲信号 （面积为单位 1） ，分析波形得到结论。当给一（面积为单位 1）脉冲信号小车时，小车向右运动，摆杆逆时针摆动，小车做 减加速运动，超过 时，小车加速运动，继而摆杆角度继续增加超过 3/2，小车加速运 动，小车和摆杆作为一个整体向右的动量不可能为零，摆杆一部分势能转化为动能，从而 摆杆角度不能达到 2，当摆杆达到最高时改为顺时针摆动，由此摆杆往复摆
13、动。而由于 摩擦的存在，此后摆杆的摆幅不断减小，最后为 0，摆杆位于角度为 处。而小车的动能 在运动过程中不断被摩擦消耗，小车减速运动，最后停止。（8）在有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 0)T时，在 10s 时给小车为脉冲信 号（面积为单位 1） ，分析波形得到结论。摆杆角度初值为 时，给小车一脉冲信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆顺时针摆 动，此时摆杆速度最大，角度减小，小车减速运动，而脉冲信号给的能量有限，摆杆角度 不能小到 /2,当摆杆顺时针摆到最高点时，摆杆改为逆时针摆动，角度不断增大，当大 于 摆到最高点时，摆杆改为顺时针摆动，角度减小，由此摆杆往复运动。而由于摩擦的 存在，此后摆杆的摆幅不断减小，最后为 0，摆杆位于角度为 处。而小车的动能在运动 过程中不断被摩擦消耗，小车减速运动，最后停止。（9）在有摩擦情况下，当初始状态为(0 0 0)T时，在 10s 时给小车为阶跃信 号（幅度为 1） ，分析波形得到结论。图 9-2 摆杆角度初值为 时，给小车一阶跃信号，小车往右运动，由于惯性，摆杆顺时针摆 动，此时摆杆速度最大，角度减小，小车加速运动，而摆杆初速不够大以致使摆杆角度小 到 /2,当摆杆顺时针摆到最高点时，
